Teorema di Bolyai-Gerwien: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il Teorema di Bolyai-Gerwien è un teorema di geometria euclidea dimostrato, indipendentemente l'uno dall'altro, nel 1832 dal matematico ungherese Farkas Bolyai e nel 1833 dall'appassionato di matematica tedesco Paul Gerwin. Il problema che entrambi matematici si sono posti è stato il seguente: se due poligoni scomponibili nello stesso numero di parti congruenti sono equivalenti, sarà vero il contrario? La risposta che Bolay e Gerwin hanno dato quasi contemporaneamente è stata affermativa. Il loro teorema, infatti, dice che due poligoni equivalenti, cioè aventi la stessa area, sono sempre equiscomponibili. Eccone la dimostrazione in tre passi.

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Occorrente

  • carta, matita, squadrette, colori
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La dimostrazione si basa sull'idea generale, secondo la quale se due poligoni equivalenti sono equiscomponibili con uno stesso rettangolo, lo sono anche tra di loro. Ogni poligono può essere scomposto in un numero finito di triangoli e di conseguenza è sufficiente dimostrare il teorema per questa figura geometrica. Il primo passo in tale direzione è equiscomporre un triangolo qualunque con un parallelogramma. Dato un triangolo ABC indicate con M il punto medio del lato CB. Da M tracciate la parallela ME alla base. Prolungate ME fino a incontrare nel punto D la parallela tracciata dal vertice C al lato AC. Dalla figura è evidente che i triangoli CEM e BDM sono uguali, in quanto per traslazione e rotazione sono perfettamente sovrapponibili. Così è dimostrato che un triangolo è equicomponibile con un parallelogramma.

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Il secondo passo della dimostrazione consiste nell'equiscomporre un parallelogramma con un rettangolo. Dato per esempio il parallelogramma ABCD è sufficiente tracciare le altezze relative alla base AB e spostare il triangolo AED come in figura. Ma un rettangolo può essere equiscomposto con un altro rettangolo avente una delle due dimensioni doppia e l'altra dimezzata rispetto al primo rettangolo. Basta traslare a metà del rettangolo come in figura. Così è dimostrato, in modo evidente, che un parallelogramma è sempre equiscomponibile con un rettangolo e quest'ultimo con un altro rettangolo avente le dimensioni comprese tra 1/2 e 1.

Continua la lettura
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L'ultimo passo è quello di dimostrare che qualunque triangolo è equiscomponibile con un rettangolo avente una dimensione uguale a 1. Per raggiungere questo scopo partite dal rettangolo ABCD ed equiscomponetelo con il rettangolo AEFG avente la base AE=1, tracciando la diagonale DE e spostando i triangoli, sempre per rotazione e traslazione, come in figura. Il Teorema di Bolyai-Gerwien è così dimostrato.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per la dimostrazione si può utilizzare il software Geogebra, che consente non solo di disegnare forme geometriche, ma anche di visualizzare traslazioni e rotazioni.

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