Teorema di Bloch (analisi complessa): dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica è da sempre la materia più ostica e complessa, sia per i bambini delle scuole elementari, sia degli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà è dovuto al fatto che i concetti matematici sono strettamente collegati tra essi, per cui è necessario comprenderli appieno per poter andare avanti negli studi senza difficoltà. Nella seguente guida parleremo del teorema di Bloch, che è molto utile per dimostrare le funzioni d'onda. Ecco allora la dimostrazione del Teorema di Bloch, in particolare dell'analisi complessa.

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I corrispondenti autovalori dell'energia

I corrispondenti autovalori dell'energia sono ε n (k) = ε n (K + K). Un periodico con periodicità K di un reticolo con reciproco vettore. Le energie associate con l'indice “n” variano continuamente con il vettore d'onda k e formano una banda di energia identificata dalla banda di indice “n”. Gli autovalori di dati “n” sono periodici in k e tutti i valori distinti di ε n (k) si verificano grazie ai valori K all'interno della prima zona di Brillouin del reticolo in questione.

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La simmetria traslazionale

La proprietà che definisce un cristallo è la simmetria traslazionale. Il che significa che se il cristallo viene spostato di una quantità appropriata, si finisce posizionando tutti i suoi atomi. Un cristallo tridimensionale ha tre vettori reticolari primitivi. Se il cristallo è spostato in uno qualsiasi di questi tre vettori, formerà la seguente combinazione dove "n" sono tre numeri interi, quindi gli atomi finiscono nella stessa serie di luoghi presenti al principio.

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I vettori di reticolo reciproco

Un altro ingrediente utile per questa prova sono i vettori di reticolo reciproco. Si tratta di tre vettori.
Ogni onda Bloch è realizza un autostato della hamiltoniana e anche un autostato di tutti gli operatori di traduzione. Questo dimostra che le onde di Bloch vengono così formulate: dove è una funzione periodica. Sia ψ (r) sia un'onda Bloch sono per costruzione, un autostato di tutti gli operatori traduzione.

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L'onda di Bloch

L'onda di Bloch presenta sempre dei passaggi a ripetizione nella quale non è difficile affrontarne lo studio. Anche se vi può essere un salto che inizialmente non viene compreso è chiaro che riprendendo la sequenza logica della struttura numerica si può ricapitolare quale sia il teorema. Ciò che viene appreso è strettamente legato alle sue conseguenze pregresse nella quale bisogna attestare il senso logico del discorso numerico per comprendere quale sia il passaggio e vedrete che sarà difficile riscontrare errori.

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