Teorema di Binet: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Come ben saprete, ogni materia rappresenta sempre una componente di ricerca e approfondimento da parte degli studiosi. La costante ricerca occorre per giungere con totale soddisfazione a svolgere l'attività lavorativa con dedizione e professionalità. L'approccio al Teorema di Binet e alla sua dimostrazione non è semplice quando si hanno poche conoscenze adeguate. La conoscenza di questa espressione richiede lo studio delle materie scientifiche (in particolare la matematica e la fisica). Soltanto chi ha studiato e approfondito il seguente processo è in grado di definire con minore difficoltà risultati incomprensibili e indecifrabili per molte persone. Il teorema di Binet funge da connettore fra il prodotto tra matrici quadrate ed il loro determinante. Nel seguente tutorial interessante vi spiegherò dunque i vari passaggi necessari per la dimostrazione di questo enunciato.

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Occorrente

  • Conoscenze approfondite di matematica e fisica
  • Conoscenze base delle analisi matematiche
  • Libro di algebra lineare
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L'etimologia della parola matematica

Interessante è sapere l'etimologia della parola "matematica", che deriva dal greco antico. Letteralmente questo termine significa scienza, conoscenza, apprendimento e qualcosa di utile per giungere ad una dimostrazione. La matematica fa ricorso alla logica delle proprietà dell'oggetto (come triangoli, funzioni o vettori) per arrivare ad esprimerle mediante i teoremi. Un qualsiasi teorema matematico si potrà considerare valido soltanto qualora contenesse una dimostrazione. Ciò riguarda anche il Teorema di Binet, che andrà decifrato con schemi, diagrammi e segni particolari collocati nel modo giusto. Un esempio relativo a quest'ultimo è "det (X)". Le espressioni vengono osservate e studiate da scientifici o matematici o scienziati, essendo importanti per due motivi. Ipotizzare un risultato oppure fornire una tesi di soluzione per giungere alla dimostrazione finale di uno spazio, una misura o un'area speciale che richiede determinati ragionamenti fatti di segni e conteggi.

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Le tipologie di dimostrazione dei teoremi

Esistono tre diverse tipologie di dimostrazione. Costruttiva, per assurdo o per induzione. Ognuna di esse interpreta il Teorema di Binet in modo differente. Si susseguono varie discipline di teoremi (come quelli di Abel, Banach, Cantor o Dandelin) che arrivano dallo studio della matematica, dall'economia e dalla fisica teorica. Per saperli riconoscere tutti bisogna nascere predisposti a capire facilmente questi diagrammi, schemi e segni particolari. Esclusivamente lo studio costante può fornire elementi sconosciuti e portare ad una capacità tale da offrire un servizio professionale ad aziende, laboratori, studi scientifici o industrie. Soltanto chi approfondisce gli enunciati può dunque sentirsi orgoglioso di fare una dimostrazione del Teorema di Binet con molta efficienza per l'intera comunità.

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La dimostrazione per costruzione del Teorema di Binet

Con riferimento alla dimostrazione per costruzione del Teorema di Binet, supponete che "det (B) = 0" e le righe di "B" sono linearmente dipendenti. Esiste dunque un vettore "V" appartenente ad "R^n" non nullo. Anche la matrice quadrata "AB" è singolare, quindi anche le sue righe sono linearmente dipendenti. Di conseguenza si ha che "det (AB) = 0". Immaginate che "det (B)" è diverso da zero, considerando la funzione "Mn, n (R) --> R" definita da "f (A) = det (AB) / det (B)". Adesso dimostrate che "f (A)" soddisfa le proprietà "(A) - (B)". L'unicità del determinante comporterà "f (A) = det (A)", pertanto avrete formulato il contenuto del Teorema di Binet.

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La riga j0-esima ed il determinante additivo

Iniziando con la dimostrazione che "f (A)" soddisfa "det (B)", avrete che "f (In) = det (InB) / det (B) = det (B) / det (B) = 1". Supponete adesso che la riga j0-esima di "A" corrisponda alla somma di due vettori "Aj0 = A'j0 + A''jo". La riga j0-esima della matrice quadrata "AB" è anch'essa somma di due righe "(AB) j0 = A'j0B + A''j0B". Il determinante è pertanto additivo rispetto alle righe ed il "det (AB)" si decompone in una somma. Qualora accada la stessa cosa per "f (A)", la proprietà risulta verificata. La dimostrazione della proprietà "(B)" è completamente analoga. Se "A" possiede due righe uguali, anche la matrice quadrata "AB" le ha: "det (AB) = 0" ed "f (A) = 0".

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Allenarsi con la matematica è sempre utile, in quanto l'esercizio rappresenta la migliore tecnica di apprendimento.
  • Approfondite l'argomento leggendo un buon libro di algebra lineare.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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