Teorema di Bendixson-Dulac: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La scienza ha fatto grandi passi avanti grazie alle nuove tecnologie ed alle numerose teorie che si sono affermate fino a questo momento. C'è da ammettere, però, che molti di questi saperi non sono stati dimostrati completamente o sono stati dimostrati a metà, ed è per questo che sono di difficile comprensione per chi li studia. Tra i tanti teoremi, uno particolarmente curioso è quello elaborato da Bendixson e Dulac in merito alle soluzioni periodiche.  

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Il matematico Bendixson, nel 1901, elaborò un teorema che aveva come argomento cardine un dilemma: se per un sistema autonomo (il sistema autonomo, detto anche sistema di equazioni differenziali, e quindi un sistema basato sulla funzione di una variabile e delle sue derivate ordinarie) possono esistere delle soluzioni periodiche oppure no. Le soluzioni periodiche non sono altro che delle funzioni che assumono gli stessi valori a intervalli regolari, e che quindi si ripetono. Poiché nel secolo scorso non si disponeva degli strumenti giusti per dimostrare tale scoperta, il matematico fu costretto ad interrompere il proprio lavoro che fu ripreso più tardi, nel 1933, dallo scienziato Dulac, il quale portò alla dimostrazione di quanto aveva scoperto il suo collega in precedenza avvalendosi di un teorema da lui stesso elaborato: il Teorema di Green.

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Questo teorema fu elaborato con l'intento di escludere l'esistenza di orbite periodiche a tutto vantaggio del comportamento asintotico delle soluzioni, la cui funzione assume valori irregolari nel tempo. Il teorema ci dice che se esiste una funzione {X1 (x, y)} la quale porta alla condizione per la quale si avrà un risultato in misura diverso da 0, la sua ipotesi di avere un sistema autonomo è confermata. Andando a calcolare le derivate di tale funzione, però, nel rispetto del Teorema di Green, la funzione non avrà soluzioni periodiche in quanto non assumerà gli stessi valori.

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La seconda condizione esaminata da questi due matematici vede la stessa equazione presa in esame, ma avente valore maggiore di 0 (>0). Prendiamo tale equazione all'interno di un dominio semplice al quale è connessa e, se supponiamo una possibile soluzione alla funzione, otterremo graficamente una curva chiusa rappresentante il sistema all'interno del dominio preso in esame. Andando a calcolare le derivate di questa funzione, avremo che esse si annullano tra loro, per cui l'ipotesi della curva chiusa decade.

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