Come dimostrare il Teorema di Bayes

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Difficoltà: media
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Introduzione

Il Teorema di Bayes risale al 1700, anche se la comunità scientifica del tempo l'ha accettato ufficialmente a partire dal 1763. Come molte formule e teoremi, prende il nome dal proprio inventore, ovvero lo studioso matematico inglese Thomas Bayes. Esso rappresenta ad oggi uno dei teoremi fondamentali della statistica, in particolare della probabilità. Sulla probabilità, e quindi in parte sulla dimostrazione del teorema di Bayes, si basa la statistica inferenziale. La dimostrazione del teorema di Bayes non si usa solo in materie come l'algebra ma anche in psicologia e nelle scienze per dimostrare la realizzazione di un evento. Attraverso degli esempi, e delle formule abbastanza comprensibili si illustra la dimostrazione del Teorema di Bayes. Essa può tornare utile sia all' università che a scuola, per lo svolgimento dei compiti a casa o di esami scritti in aula.

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Occorrente

  • Computer o tablet
  • Internet
  • Programma di formule matematiche
  • libro di statistica
  • carta e penna
  • programma di probabilità installati sul pc
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Studiare la definizione di probabilità e di probabilità condizionata

Prima di tutto è bene partire dallo studio della definizione della probabilità. La probabilità è la possibilità che un evento di qualsiasi natura si verifichi. Il tipico esempio è quello del lancio di due dadi. Invece, la probabilità condizionata è la possibilità che un evento si verifichi, a condizione che un'altro evento abbia avuto modo di verificarsi. Come indica il nome stesso, la probabilità condizionata si basa solo ed esclusivamente sulla condizione che un altro evento avvenga o meno.

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Dimostrare il teorema di Bayes con le formule

Ed è proprio con la probabilità condizionata che si esegue la dimostrazione del teorema di Bayes. Nel teorema di Bayes non ci si deve basare soltanto sulle osservazioni riguardanti quello specifico evento, bensì anche su quello che suppone, vale a dire in funzione dell'esperienza su quella evento. In formule, si avrà che ogni evento (A) dipende dal verificarsi di un'altro evento (B). La probabilità condizionata di A nei confronti di B si esprime con la seguente espressione: p (A|B). Notare che p (A|B) ≠ p (A). Sarà possibile esprimere la probabilità condizionata anche così: p (A|B) = [p (A∩B)/p (B)]. L’evento A risulterà invece indipendente quando non esiste una correlazione con B.

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Dimostrare il teorema di Bayes con formule diverse

Per la dimostrazione del teorema di Bayes, bisogna applicare anche la teoria del prodotto delle probabilità. Il prodotto delle probabilità non è altro che la possibilità che due eventi succedano nel medesimo istante. La formula per la dimostrazione in tal caso è p (A∩B) = p (A) + p (B) − p (AUB). Ciò vuol dire che la probabilità dell’evento A, intersecato con l'evento B, equivale ad un'ulteriore eventualità. Si somma la possibilità di A con la possibilità di B, poi si sottrae la probabilità che i due eventi si annullino a vicenda. Infatti se A e B si annullano a vicenda, il teorema non può esistere.

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Usare il teorema di Bayes nelle probabilità composte

Dal teorema di Bayes si potrà andare verso la teoria delle probabilità composte. In ambito statistico, essa viene indicata con l'espressione p (A∩B) = p (A) x p (B|A) = p (B) x p (A|B). In questo caso, si dimostra che l'eventualità del prodotto degli eventi A e B equivale al prodotto della probabilità di A per quella condizionata di B.

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Dimostrare il teorema di Bayes in modo più avanzato

Per una dimostrazione del teorema di Bayes di livello avanzato, si uniscono tutte le formule fino a qui studiate. L’evento A si esprime anche con la seguente modalità: B = (B∩A) U (BUᾹ), dove Ᾱ rappresenta l'avvenimento contrario ad A. In questo modo, si ottiene l'espressione p (B) = p (B∩A) + p (B∩Ᾱ) = p (B|A) x p (A) + p (B|Ᾱ) x p (Ᾱ) = p (B|A) x p (A) + p (B|Ᾱ) x [1-p (A)].
Riscrivendo la formulazione precedentemente citata della probabilità condizionata, si ha che p (A|B) = [p (A∩B)]/p (B) = [p (B|A) x p (A)]/[p (B|A) x p (A) + p (B|Ᾱ) x p (Ᾱ)]. Nella versione più generale, si ha p (Aj|B) = [p (Aj∩B)] / p (B) = [p (B|Aj) x p (Aj)] / [Σ p (Bk|A) x p (A)]. Ecco la dimostrazione del teorema di Bayes.

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Applicare il teorema di Bayes a diverse discipline

Il teorema di Bayes trova le sue applicazioni nelle scienze matematiche, in genetica, in psicologia, nella vita di tutti i giorni. Ad esempio, nelle scienze si applica il teorema per quanto riguarda la regolarità negli eventi casuali (o aleatori). In genetica serve per il calcolo dei rischi di danni genetici o anomalie genetiche o nel campo della consanguineità. In psicologia serve per verificare quanto un dato evento nella vita di ognuno di noi possa influire sulla realizzazione o meno di un altro evento, o sul comportamento di qualcuno.

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