Teorema di Bayes: dimostrazione

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Difficoltà: media
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Introduzione

Il Teorema di Bayes venne formulato nel 1700 (ma pubblicato nel 1763) e prende il nome del proprio inventore, ovvero il matematico inglese Thomas Bayes. Esso rappresenta oggi uno dei teoremi fondamentale della statistica e l'argomento a cui si riferisce è quello della probabilità condizionata. Quest'ultima si definisce come la possibilità che un evento (A) si possa verificare, a condizione che un'altra circostanza (B) abbia avuto modo di verificarsi.
Il principio del Teorema di Bayes è il seguente. Chi esegue delle previsioni di un certo avvenimento non si deve basare soltanto sulle osservazioni riguardanti quello specifico evento. Egli dovrà invece considerare anche quello che suppone, in funzione dell'esperienza su quella circostanza.
Attraverso degli esempi e delle formule elementari, cercherò di illustrarvi al meglio la dimostrazione del Teorema di Bayes. Si tratta di un argomento interessante e, quindi, vi suggerisco di continuare a leggere questo articolo sulla statistica.

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Occorrente

  • Personal Computer (PC)
  • Connessione ad Internet
  • Programma di formule matematiche
  • Software "GeoGebra"
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La dimostrazione del Teorema di Bayes viene formulata sulla definizione della probabilità condizionata. Un evento (A) dipende da un'altra circostanza (B). Ciò avviene se la possibilità di avvenimento di "A" consegue al fatto che "B" risulta verificato o meno. L’evento "A" risulterà invece "indipendente" quando non esiste una correlazione con la circostanza "B".
La probabilità condizionata di "A" nei confronti di "B" si esprime con la seguente espressione: "p (A|B)", che equivale a "p (A|B) ≠ p (A)". Con "p (A)" si intende l’indipendenza dell’evento "A" dalla circostanza "B". Sarà possibile esprimere la probabilità condizionata anche così: "p (A|B) = [p (A∩B)/p (B)]".

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Per la dimostrazione del Teorema di Bayes, bisogna ricordare anche la teoria del prodotto delle probabilità. Precisamente, il "prodotto" è la possibilità che due eventi succedano nel medesimo istante.
La propria formula è "p (A∩B) = p (A) + p (B) − p (AUB). Ciò significa che la probabilità dell’evento "A", intersecato con la circostanza "B", equivale ad un'ulteriore eventualità. Difatti è possibile che si verifichi "A", sommata alla possibilità che avvenga "B", meno la probabilità che i due eventi siano incompatibili.
Da questo teorema si potrà andare verso la teoria delle probabilità composte. In ambito statistico, essa viene indicata con l'espressione "p (A∩B) = p (A) x p (B|A) = p (B) x p (A|B)". In questo caso, l'eventualità del prodotto degli eventi "A" e "B" equivale al prodotto della probabilità di "A" con quella condizionata di "B".

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La dimostrazione del Teorema di Bayes si potrà ottenere dall'assunto precedente. L’evento "A" si esprime anche con la seguente modalità. "B = (B∩A) U (BUᾹ)", dove "Ᾱ" rappresenta la circostanza contraria ad "A". In questo modo, si ottiene la formula "p (B) = p (B∩A) + p (B∩Ᾱ) = p (B|A) x p (A) + p (B|Ᾱ) x p (Ᾱ) = p (B|A) x p (A) + p (B|Ᾱ) x [1-p (A)]".
Riscrivendo la formulazione precedente della probabilità condizionata, si ottiene "p (A|B) = [p (A∩B)]/p (B) = [p (B|A) x p (A)]/[p (B|A) x p (A) + p (B|Ᾱ) x p (Ᾱ)]. Nella propria forma più generale, si ha "p (Aj|B) = [p (Aj∩B)] / p (B) = [p (B|Aj) x p (Aj)] / [Σ p (Bk|A) x p (A)]. Essa costituisce appunto il Teorema di Bayes.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Eseguite numerosi esercizi pratici, in modo da comprendere a fondo il teorema di Bayes.
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