Teorema di Bézout: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica è una materia piuttosto complessa e di non facile comprensione per la maggior parte degli degli studenti. Per poterla capire a fondo sono necessari diversi anni di studio ed esercizio, soprattutto per la gran quantità di teoremi di cui è piena. Se vogliamo conoscere il numero di intersezione tra due curve, in matematica dobbiamo per forza di cose applicare il Teorema di Bézout. Scoperto dal matematico francese il quale poi ha dato il nome, questo teorema si rende particolarmente utile per risolvere particolari problemi algebrici. Vediamo allora di seguito una dimostrazione pratica, attraverso pochi e semplici passaggi vi daremo utili suggerimenti che vi faciliteranno il compito.

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Enunciazione del teorema

Supponiamo di avere una curva piana x di grado m e un'altra y di grado n e per concludere C il grado del polinomio che la descrive. L'ultimo polinomio menzionato ci indica che il numero delle intersezioni conteggiate è pari a mn. Questo dato finale indica con precisione quanti sono gli effettivi punti di intersezione. Per capire meglio quali siano i vari passaggi vediamo un esempio pratico: A = 12 e B = 42, MCD (12, 42) = 6. Quindi:
12 x -10 + 42 x 3 = 6
12 x -3 + 42 x 1 = 6
12 x 4. + 42 x -1 = 6
12 x 11 + 42 x -3 = 6
12 x 18 + 42 x -5 = 6.

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Applicazioni del teorema

L'esempio indicato nel passo precedente si riferisce a numeri interi, ma il Teorema di Bezout può tranquillamente essere applicato anche nel caso di anelli ad ideali principali. Con questa terminologia si vuole intendere un dominio d'integrità, ovvero generato da un solo elemento. In sintesi si tratta di anelli molto simili ai numeri interi e ogni elemento deve essere catalogato quale prodotto di elementi primi. Ma non solo, altre sono le applicazioni dove è possibile utilizza tale teorema.

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Proprietà della divisione euclidea

Il lemma di Bézout è una conseguenza della proprietà che definisce la divisione euclidea e cioè che la divisione per un numero intero diverso da zero b ha un resto strettamente minore di | b |. La dimostrazione che segue può essere adattata per ogni dominio euclideo. Per i dati interi non nulli a e b non è un numero intero diverso da zero d = a + bt di minimo valore assoluto tra tutti quelli della forma ax + by con x e y interi; si può supporre d> 0, cambiando i segni di entrambi s e t se necessario. Ora il resto della divisione a oppure b da d è anche della forma ax + da quanto ottenuto sottraendo un multiplo di d = a + bt da una o b e dall'altro deve essere strettamente minore in valore assoluto, a d. Questo lascia 0 come unica possibilità per tale residuo, così d divide a e b esattamente e se c è un altro comune divisore di a e b, allora c divide anche come + bt = d poiché c divide d ma non è uguale ad esso, ma deve essere inferiore a d. Detto questo è tranquillamente possibile affermare che: d è il massimo comune divisore di A e B. Con questi ultimi calcoli, la dimostrazione completa del Teorema di Bezout è stata completata.
Il teorema di Bézout è piuttosto complesso da apprendere e necessita di molto studio. Se anche voi lo state studiando in questo periodo e volete capirci di più, i consigli di questa guida faranno esattamente al caso vostro, per facilitarvi la comprensione. Se però avete ancora qualche dubbio, allora sarà bene chiedere consiglio e spiegazioni al vostro insegnante, che saprà sicuramente dare una risposta ai vostri dubbi. Vi auguro quindi buono studio.
A presto.

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