Teorema di Ascoli-Arzelà: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questo articolo vogliamo proporvi una guida, mediante la quale essere in grado di comprendere meglio e nel migliore dei modi, il Teorema di Ascoli-Arzelà e nello specifico la sua dimostrazione. Il teorema di Ascoli-Arzelà è un teorema di analisi matematica di grande importanza e utilità nell'analisi funzionale. Il suo creatore Cesare Arzelà è stato un dei più geniali matematici italiani a cavallo tra la fine dell'ottocento e l'inizio del novecento. Noto per il suo contributo nel campo delle funzioni variabili reali. L'assioma in questione conferisce la condizione necessaria affinché una successione di funzioni continue limitate ammetta anche una sotto successione convergente, nella norma del massimo, che è quella regola che rende C ([a, b]), lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo [a, b], uno spazio completo. Vediamo ora lo svolgimento e la dimostrazione del teorema in varie fasi.

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Occorrente

  • Munirsi di un buon portatile di carte e penna.
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Il teorema considera una successione di funzioni continue

Il teorema di Ascoli-Arzelà considera una successione di funzioni continue naturalmente a valori reali definite su chiuso e limitato. Solo nel caso in cui la successione sia equi-continua e limitata allora esisterà una sotto successione che converge uniformemente. Esiste poi una una versione più generalizzata del teorema che considera anche gli spazi metrici. Un insieme è compatto se la chiusura dello stesso è a sua volta compatta. Se E è un sottoinsieme di C ed E è equi-continuo, e se l'insieme è relativamente compatto allora E sarà relativamente compatto.

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La dimostrazione prende in considerazione un ordinamento dei numeri razionali

La dimostrazione prende in considerazione un ordinamento dei numeri razionali dell'intervallo [a, b] ed una successione f_n. Di conseguenza essa però sarà limitata sul primo razionale q_1 ma poiché [-M, M] è un compatto, essa consentirà una successione convergente su q_1 che per caèirci indichiamo con f_. Questa a sua volta sarà limitata su q_3, e così via. Proseguire il procedimento in questo modo da vita ad una successione di sotto successioni f_ tali che f_ converga per ogni q_1 con i minore o uguale ad m. È da questo punto che si può dare vita ad una successione estraendo la diagonale delle f_, cioè prendendo la successione f_ che poi confluisca su ogni razionale contenuto in [a, b].

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Dimostrare che la successione è di Cauchy

Così procedendo si dimostra che la successione f_ è di Cauchy su [a, b] poiché è solo la compattezza degli spazi che che consente di arrivare a questa conclusione. Si procede poi fissando un \varepsilon ricavando poi dall'equi-continuità il \delta corrispondente. SI ha quindi: |f_(t)-f_(\tau)|<|f_(t)-f_(q_i)|+|f_(q_i)-f_(q_i)|+|f_(q_i)-f_(\tau)|\. Il termine centrale al secondo membro è minore di \varepsilon così da poter far convergere f_ sui numeri razionali. Sono molte le applicazioni e le dimostrazioni circa il teorema di Ascoli-Arzelà. Per poter accedere e approfondire le molteplici dimostrazioni dell'assioma si può semplicemente consultare un volume di Analisi funzionale, dove è possibile prendere visione della sua applicazione al problema della compattezza debole. Come possiamo capire il Teorema di Ascoli-Arzelà, non è poi così difficile da eseguire ed anche in particolar modo, da dimostrare. Potremo anche noi utilizzare questo teorema ed articolo, che abbiamo pensato di proporre, quando ne avremo maggiormente bisogno e necessità.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Fare attenzione ai calcoli.
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