Teorema di approssimazione di Weierstrass: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Per il teorema di limitatezza delle funzioni continue (che dice che presa una funzione continua su un intervallo chiuso, essa è limitata nell'intervallo, ovvero ammette un numero C>0 tale che la funzione è minore o uguale a C per ogni punto dell'intervallo), 1/g è limitata su [a, b] e ponendo 1/g (x) < C, con C>0, avremo un'implicazione spontanea: M-f (x)>1/C e anche f (x) Questo vuol dire allora che se f è continua su [a, b] allora Xmax è il suo valore massimo mentre Xmin è il suo valore minimo, dunque per il teorema dei valori intermedi, l'immagine di f è l'intervallo chiuso [Xmin, Xmax]. Il teorema di Weierstrass è una dimostrazione fondamentale per tutti i ragazzi che sceglieranno di intraprendere la carriera scientifico/matematica, Con la conoscenza di questo teorema potremo dire che un moto di un corpo ammetterà velocità o accelerazione massima se la velocità non è costante. Ecco una semplice guida sul teorema di approssimazione di Weierstrass: dimostrazione.

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Occorrente

  • Funzione continua e limitata
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Dimostrazione del teorema

Dimostrazione:

È sufficiente dimostrare che f raggiunge il suo estremo superiore in [a, b] (la dimostrazione dell'estremo inferiore è analoga poiché l'estremo inferiore di f è l'estremo superiore di -f).
Poniamo un punto M=Xmax. Supporremo allora che non esista alcun x in [a, b] per il quale f (x)=M e ne ricaveremo una contraddizione. Sia g (x)=M-f (x); allora g (x)>0 per tutti gli x in [a, b] e perciò la funzione reciproca 1/g (x) è continua su [a, b].

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Enunciato del teorema

Enunciato:

Sia f (x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b]. Allora f (x) ammette massimo e minimo in [a, b]: esistono Xmin e Xmax appartenenti ad [a, b] tali che f (Xmin) è minore o uguale di f (x) a sua volta minore o uguale di f (xmax), per ogni x appartenente all'intervallo.

Continua la lettura
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Illustrazione del significato dell'enunciato

Illustriamo il significato di questo enunciato:

Prima di tutto la funzione che noi prendiamo è continua: questo vuol dire che in essa non esiste, nell'intorno in cui è limitata, un punto di non derivabilità, Prendiamo inoltre in considerazione che la funzione è in un intervallo chiuso e limitato e quindi gli estremi che noi prendiamo in considerazione sono definiti e compresi nello studio della nostra funzione (rispetteranno quindi anch'essi il teorema che dimostreremo). Per Weierstrass esisteranno allora due punti interni all'intervallo che saranno i punti in cui noi avremo dei punti detti "estremanti" (chiamati appunto Xmin e Xmax), che avranno quindi la proprietà di non essere "superati" (in base al fatto che siano di massimo o di minimo) da altri punti della funzione, in nessun punto dell'intervallo. Non ci resta che dimostrare quello che abbiamo appena detto!

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Se qualcosa non vi è chiaro vi consiglio di riguardarvi argomenti come le definizioni di intorno, di intervalli e di funzione, per passare poi ai Teoremi (di Bolzano, dei valori intermedi, degli zeri).

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