Teorema di Abel-Ruffini: dimostrazione

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Difficoltà: media
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Introduzione

Il teorema di Abel-Ruffini, da non confondere con la "Regola di Ruffini" viene ritenuto utile per la scomposizione dei polinomi. Inoltre viene considerato il contributo più importante dato dal Ruffini alla matematica. Il teorema di Abel-Ruffini vine attribuito anche al matematico norvegese Niels Abel. Quest'ultimo pubblicò la sua dimostrazione alcuni anni dopo la pubblicazione da parte del medico italiano colmando le lacune che caratterizzavano la prima dimostrazione. Nella seguente guida vi lascio la dimostrazione del Teorema di Abel-Ruffini.

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Occorrente

  • Testo di algebra
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Conferma di una relazione tra il grado di un equazione e le sue soluzioni

Il Teorema di Abel-Ruffini in base alle sue dimostrazioni conferma una relazione tra il grado di un equazione e le sue soluzioni. In particolare esso afferma che per le equazioni di grado maggiore o uguale al quinto non è possibile determinare le radici (o soluzioni) solo attraverso l'applicazione delle operazioni aritmetiche, dell'estrazione di radice e sfruttando particolari relazioni tra i coefficienti dell' equazione stessa.

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Interpretare male il teorema si Abel-Ruffini

Capita spesso che l'enunciato di questo teorema di Abel-Ruffini venga male interpretato. Specialmente durante la dimostrazione. Esso non giunge alla conclusione che per la categoria di equazioni sopra citate non esistano soluzioni in via generica nella sua dimostrazione. Questa affermazione violerebbe il teorema fondamentale dell'algebra il quale afferma che tutte le funzioni polinomiali, a prescindere dal grado, hanno almeno una soluzione. Abel-Ruffini nella sua dimostrazioni affermava che per le equazioni di quinto grado e di grado superiore non è possibile identificare una formula risolutiva come accade per le equazioni di secondo, terzo e quarto grado.

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Partire da un equazione generale per dimostrare il teorema

Per la dimostrazione del teorema occorre partire da un equazione generale del tipo: x^m + ax^m−1 + bx^m−2 + · · · + u = 0. Determinare una formula risolutiva per questa equazione generica significa trovare una funzione delle radici F (x1; x2;....; xm). Generalmente che dipenda simmetricamente dalla funzione dei coefficienti f (a; b;....; u). In modo da poter determinare tutte le soluzioni dell'equazione. Da questa considerazione generale vengono ricavate le famose formule di risoluzione per le equazioni di secondo, terzo e quarto grado.

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Questa uguaglianza non viene verificata per le equazioni di quinto grado

Mentre per le equazioni di quinto grado questa uguaglianza non viene verificata come dimostrerà il matematico francese Evariste Galois. Un equazione viene risolta per radicali solo se i il suo gruppo simmetrico (Sn) è risolubile. Mentre per le equazioni di secondo, terzo, quarto grado i gruppi simmetrici S2, S3, S4 sono gruppi risolubili, per n=5 e n>5 il gruppo di Galois Sn non lo è. Per questa ragione non è possibile risolvere per radicali equazioni di grado maggiore di cinque. Ecco infine la dimostrazione del teorema di Abel-Ruffini.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Prima di eseguire il teorema imparare la teoria ed infine iniziare ad esercitarsi
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