Teorema della media integrale

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica è indubbiamente la materia più ostica ed indigesta da tutti coloro che sono chiamati a studiarla: a partire dagli scolari delle elementari fino ad arrivare agli studenti delle superiori e delle università. Questa difficoltà è dovuta soprattutto al fatto che in un determinato argomento ogni concetto è strettamente connesso a tutti gli altri, per cui è opportuno comprendere tutti e bene per evitare di avere problemi negli studi futuri. Nei passi della seguente guida parleremo del teorema della media integrale, il quale spiega la relazione che esiste tra gli integrali e la funzione continua di una variabile.

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Proprietà di confronto

Dalla proprietà di confronto per l'integrale segue che ''m'' che moltiplica (b meno a) risulta essere minore o uguale all'integrale definito tra ''a'' e ''b'' di f (x) in dx che a sua volta risulta essere minore o al massimo uguale a ''M'' che moltiplica (b meno a) da cui si conviene che ''m'' è minore di (1 diviso (b meno a)), che moltiplica l'integrale definito tra ''a'' e ''b'' di f (x) in dx. Allo stesso modo si ricava che (1 diviso (b meno a)) che moltiplica l'integrale definito da ''a'' a ''b'' di f (x) in dx è minore o uguale a ''M''. Dal teorema dei valori intermedi avremo quindi che f (x) assume tutti i valori compresi tra ''m'' e ''M'', in particolare avremo allora che esiste x con 0 contenuto nell'intervallo chiuso e limitato [a, b] tale che f (x con 0) risulti uguale al valore medio cioè uguale a (1 diviso (b meno a)) che moltiplica l'integrale definito tra ''a'' e ''b'' di f (x) in dx. Utilizzando questo risultato è possibile provare che se l'integranda è una funzione continua allora la corrispondente funzione integrale è derivabile. Insomma, il teorema non è assolutamente complicato in termini dimostrativi.

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Esempio

Sia f (x) una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato [a, b]. In questo caso esiste x con 0 che appartiene all'intervallo chiuso e limitato [a, b], in maniera tale che f (x con 0) = 1 diviso (b men a), che va a moltiplicare l'integrale definito da "a" a "b" di f (x) in dx. A questo punto, è possibile fare la dimostrazione.

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Dimostrazione

Infine, ecco una dimostrazione abbastanza semplice e pratica: poiché f (x) è una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato [a, b] dal teorema di Weirestrass, avremo l'esistenza di "m" e "M", che sono il minimo della funzione f (x) nell'intervallo [a, b] e il massimo della funzione f (x) nell'intervallo [a, b] e per ogni x contenuta nell'intervallo chiuso e limitato [a, b] risulta "m" minore o uguale di f (x) che risulta a sua volta minore o uguale di "M".

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