Teorema della funzione inversa: dimostrazione

Tramite: O2O 19/06/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica, ed in particolare nel calcolo differenziale, il terorema dela funzione inversa fornisce le condizioni sufficienti per una funzione per essere invertibile in un intorno di un punto del dominio. Il teorema definisce inoltre una formula per la derivazione di tale funzione. Vediamo insieme attraverso questa guida il teorema della funzione inversa: dimostrazione!.

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Per le funzioni di una sola variabile

Per le funzioni di una sola variabile, il teorema afferma che se ? è una funzione derivabile con derivata non nulla nel punto a, allora ? è invertibile in un intorno di a, l'inversa è differenziabile in modo continuo.
Per funzioni di più variabili, il teorema afferma che se la derivata totale di una funzione continuamente differenziabile F definita in un insieme U aperto di Rn in Rn è invertibile in un punto p (ovvero il determinante Jacobiano di f in p non è zero), allora F è una funzione invertibile nell'intorno di p. Cioè, una funzione inversa di F esiste in qualche intorno di F (p). Inoltre la funzione inversa F ^ {-1} è ugualmente differenziabile in modo continuo. Nel caso di un infinito dimensionale è richiesto che la derivata di Fréchet deve possedere una inversa in p. Infine, il teorema afferma che: dove [ ] ^{-1} indica la matrice inversa e J (q) è la matrice Jacobiana della funzione G nel punto q. Questa formula può essere ottenuta dalla formula di derivazione.

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Note sui metodi di dimostrazione

Come risultato importante, il teorema della funzione inversa teorema è stato fornito di diverse dimostrazioni. La più frequente nei libri di testo si basa sul teorema di punto fisso di Banach. Questo teorema può essere utilizzato anche come il passo fondamentale nella dimostrazione di esistenza ed unicità di soluzioni di equazioni differenziali ordinarie. Dal momento che questo teorema vale in impostazioni di dimensione infinita (spazio di Banach), è lo strumento utilizzato per dimostrare la versione infinita e tridimensionale del teorema della funzione inversa.

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Spazi di Banach

Il Teorema della funzione inversa può essere generalizzato a mappe differenziabili attraverso spazi di Banach. Siano X e Y spazi di Banach e U un intorno aperto dell'origine in X. Sia f: U? Y continuamente differenziabile e supponiamo che la derivata (dF) o: X? Y di F in 0 è un isomorfismo lineare limitato di Xsu Y. Allora esiste un intorno aperto V di F (0) in Y e una mappa continuamente differenziabile G: V ? X tale che F (G (y)) = y per ogni yin V. Inoltre, G (y) è l'unica soluzione x sufficientemente piccola dell'equazione F (x) = y.

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