Teorema della funzione inversa: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
14

Introduzione

In matematica, ed in particolare nel calcolo differenziale, il terorema dela funzione inversa fornisce le condizioni sufficienti per una funzione per essere invertibile in un intorno di un punto del dominio. Il teorema definisce inoltre una formula per la derivazione di tale funzione. Vediamo insieme attraverso questa guida il teorema della funzione inversa: dimostrazione!.

24

Per le funzioni di una sola variabile

Per le funzioni di una sola variabile, il teorema afferma che se ƒ è una funzione derivabile con derivata non nulla nel punto a, allora ƒ è invertibile in un intorno di a, l'inversa è differenziabile in modo continuo.
Per funzioni di più variabili, il teorema afferma che se la derivata totale di una funzione continuamente differenziabile F definita in un insieme U aperto di Rn in Rn è invertibile in un punto p (ovvero il determinante Jacobiano di f in p non è zero), allora F è una funzione invertibile nell'intorno di p. Cioè, una funzione inversa di F esiste in qualche intorno di F (p). Inoltre la funzione inversa F ^ {-1} è ugualmente differenziabile in modo continuo. Nel caso di un infinito dimensionale è richiesto che la derivata di Fréchet deve possedere una inversa in p. Infine, il teorema afferma che: dove [ ] ^{-1} indica la matrice inversa e J (q) è la matrice Jacobiana della funzione G nel punto q. Questa formula può essere ottenuta dalla formula di derivazione.

.

34

Note sui metodi di dimostrazione

Come risultato importante, il teorema della funzione inversa teorema è stato fornito di diverse dimostrazioni. La più frequente nei libri di testo si basa sul teorema di punto fisso di Banach. Questo teorema può essere utilizzato anche come il passo fondamentale nella dimostrazione di esistenza ed unicità di soluzioni di equazioni differenziali ordinarie. Dal momento che questo teorema vale in impostazioni di dimensione infinita (spazio di Banach), è lo strumento utilizzato per dimostrare la versione infinita e tridimensionale del teorema della funzione inversa.

Continua la lettura
44

Spazi di Banach

Il Teorema della funzione inversa può essere generalizzato a mappe differenziabili attraverso spazi di Banach. Siano X e Y spazi di Banach e U un intorno aperto dell'origine in X. Sia f: U→ Y continuamente differenziabile e supponiamo che la derivata (dF) o: X→ Y di F in 0 è un isomorfismo lineare limitato di Xsu Y. Allora esiste un intorno aperto V di F (0) in Y e una mappa continuamente differenziabile G: V → X tale che F (G (y)) = y per ogni yin V. Inoltre, G (y) è l'unica soluzione x sufficientemente piccola dell'equazione F (x) = y.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Lebesgue: dimostrazione

Il Teorema di Lebesgue, conosciuto anche come teorema di Vitali-Lebesgue, nel campo dell'analisi matematica è una proposizione che determina l'equivalenza tra una funzione e la derivata del suo integrale, ovvero un operatore che associa alla funzione...
Università e Master

Teorema di Eulero: dimostrazione

Il Teorema di Eulero (chiamato anche Teorema di Fermat-Eulero) dimostra che se è un intero positivo e un coprimo (interi che non hanno nessun divisore a eccezione di 1 e -1, se il loro massimo comune divisore è 1) rispetto a. In questo modo φ() ≡...
Università e Master

Teorema di Lagrange: dimostrazione

Quante volte abbiamo provato la dimostrazione di un teorema ognuno con il proprio modo di dare risultati diversi. Il Teorema di Lagrange nella sua dimostrazione non è così intuitivo per chi non dimostra conoscenze matematiche e geometriche. C'è chi...
Università e Master

Teorema di Bolzano: dimostrazione

Il "Teorema di Bolzano" (o "teorema degli zeri per le funzioni continue") prende il nome dal matematico e filosofo boemo Bernard Bolzano, vissuto tra il XVIII ed il XIV secolo. Tale teorema (da non confondere con il "teorema di Bolzano-Weierstrass" sulle...
Università e Master

Teorema dei valori intermedi: dimostrazione

Il teorema dei valori intermedi è uno dei più importanti in matematica: esso serve infatti per arrivare, attraverso dei ragionamenti successivi, a definire il famoso e importante teorema di Weierstrass. Con i passaggi che seguono andremo a vedere nello...
Università e Master

Teorema di Krasnoselskii: dimostrazione

Il Teorema di Krasnoselskii è uno dei teoremi di punto fisso che sono uno dei principali strumenti dell'analisi matematica non lineare. Questi teoremi hanno una miriade di applicazioni pratiche. I suoi risultati riguardano un operatore singolo; ma le...
Università e Master

Teorema di Laplace: dimostrazione

Lo studio è stato parte integrante durante la nostra adolescenza, materie che si intrecciavano tra loro facendoci a volte palpitare, ma nello stesso tempo incuriosire e affascinare, in questa guida cerchiamo di capire Teorema di Laplace: dimostrazione,...
Università e Master

Teorema di Eulero (aritmetica modulare): dimostrazione

Questa guida dal titolo "Teorema di Eulero (aritmetica modulare): dimostrazione" si prefigge di dimostrare cos'è. Il Teorema di Eulero può essere considerato in alcuni casi la conseguenza del teorema di Lagrange, che spiegherò in modo dettagliato nei...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.