Teorema della funzione aperta (analisi funzionale): dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Tra tutti i teoremi presenti in analisi funzionale, uno tra i più importanti è senza ombra di dubbio quello della funzione aperta, detto anche teorema dell'applicazione aperta o teorema di Banach - Schauder. Questo teorema è di fondamentale importanza perché, grazie a esso, si possono sviluppare funzioni via via più complesse. In questo articolo vediamo la dimostrazione della funzione aperta in analisi funzionale. Specifichiamo quest'ultimo punto in quanto il teorema della funzione aperta non si trova solamente in analisi funzionale, ma anche in quella complessa.

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Occorrente

  • ripetere continuamente la formula per poter capire bene il teorema
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Descrizione

Prima di far vedere il suo enunciato e la sua dimostrazione, puntiamo la nostra attenzione su alcuni aspetti fondamentali, senza i quali i passi successivi risulterebbero poco chiari. Innanzitutto per applicazione aperta intendiamo un'applicazione da uno spazio topologico a un altro che trasforma ogni aperto del dominio in un aperto del condominio. Il teorema afferma che un operatore lineare continuo tra spazi di Banach è una funzione aperta.

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Funzione

Dobbiamo, prima di tutto, stabilire che per ogni x ∈ X e per ogni N ⊆ X, intorno di x, T (N) è un intorno di Tx. Per linearità è evidente che T (x+A) = Tx + T (A) (x ∈ X, A ⊆ X). Bisogna solamente provare l’affermazione per x = 0. Dal momento in cui un intorno dello zero contiene, obbligatoriamente, una palle Br = B (0, r), basta solamente provare che per ogni r´ > = esiste un r1 > 0 tale che Byr´1 ⊆ T (Brx). Notiamo che Br = rB1 e, di conseguenza, T (Brx) = Rt (B¹x) per ogni r>0. Per la suriettività di T si ha che: Y = U∞ n=1 T (Bn) = U∞n=1 T (Bn). Secondo il teorema di Baire esiste n tale che: T (bn) ha un interno non vuoto quindi, essendo T (Bn) = nT (B¹), di conseguenza T (B1) non ha un interno vuoto.

Continua la lettura
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Enunciato

Vediamo adesso il suo enunciato: sia T: X --> Y un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach X e Y. Ne consegue che T è una funzione aperta o, per meglio dire, se U è un insieme aperto in X, allora T (U) è aperto in Y. Sottolineano prima di capire alcuni concetti importanti. All'interno dell'analisi funzionale un operatore lineare continuo è una trasformazione lineare continua rispetto alla tipologia presente all'interno dello spazio vettoriale topologico. Ancora, sia W un aperto di Y tale che: W ⊆ T (B¹). Visto che T (B¹) contiene, naturalmente, lo zero, occorre solamente provare che esiste e> 0 tale che Bey ⊆ W. Consideriamo adesso x0 ∈ B¹ e y0 ∈ W. Esiste un intorno V di zero in Y tale che: V ⊆ -y0 + T (B¹). Risulta chiaramente che x ∈ B e, per la continuità di T, abbiamo Tx =y.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • non confondersi con il teorema delle funzioni complesse

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