Teorema della farfalla: dimostrazione

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Difficoltà: media
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Introduzione

Secondo Coxeter e Greitzer, una delle soluzioni per il teorema della farfalla è stato presentato nel 1815 da WG Horner. Più di recente, una dimostrazione risalente al 1805 di William Wallace è stata scoperta negli archivi della famiglia di Wallace.
Tale teorema, appartenente alla geometria euclidea, asserisce che: Sia M il punto medio di una corda PQ di un cerchio e siano AB e CD altre due corde passanti per M che intersechino PQ rispettivamente in X e in Y. Allora M sarà il punto medio di XY. Vediamone alcune dimostrazioni.

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Teorema Wallace

Teorema O [Wallace]
Attraverso L traccio PQ parallela alla GE, che incontra KF in P e KH in Q.

A causa delle parallele, l'angolo HQP è uguale ad HGE, ma HGE è uguale HFE, o HFP, perché sono nello stesso segmento, pertanto gli angoli HQP, HFP sono uguali, e quindi i punti H, Q, F, P sono nella circonferenza di un cerchio, pertanto PL × LQ = FL × LH.

i triangoli KEG, KPQ sono simili e loro lati EG, PQ sono sezionati dai segmenti KM, KL, come da EM a PL, e come da MG a LQ, pertanto
KM ²: EM × MG :: KL ²: PL × LQ, o FL × LH;
e dalla composizione, & c. KM ²: KM ² + CM × MD :: KL ²: KL ² + CL × LD.

Ma KM ² + CM × MD = CK ² e KL ² + CL × LD = KD ².

Pertanto KM ²: CK ² :: KL ²: KD ², e KM: CK :: KL: KD.

Ma CD è perpendicolare al diametro, KC è uguale a KD, pertanto KM deve anche essere uguale a KL come era di fatto da dimostrare.

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Dimostrazione Coxeter e Greitzer

Dimostrazione 1 [Coxeter e Greitzer]
Tracciamo le perpendicolari x1 e x2 da X e y1 e y2 da Y su AB e CD. Aggiugiamo anche A = MP = MQ e x = y = XM e YM. Si osservano dunque diverse coppie di triangoli simili, il che implica le seguenti proporzioni:

MX1 e My1 x / y = X1/Y1
Mx2 e MY2 x / y = X2/Y2
Ax1 e Cy2 X1/Y2 = AX / CY
DX2 e BY1 x2/y1 = XD / YB

da cui

x ² / y ² = X1/Y2 · x2/y1 = X1/Y1 · X2/Y2 = AX · XD / CY · YB = PX · XQ / PY · YQ.

affinché

x ² / y ² = (a - x) (a + x) / (a - y) (a + y) = (a ² - x ²) / (a ² - y ²) = a ² / a ² = 1.

E infine x = y.

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Dimostrazione Shklyarsky

Dimostrazione 2 [Shklyarsky]

Sia O il centro del cerchio dato. Dato OM ⊥ XY, al fine di dimostrare che XM = MY, dobbiamo dimostrare che ∠ XOM = ∠ YOM.
Tracciamo le perpendicolari OK e ON da O rispettivamente su AD e BC. Ovviamente, K è il punto medio di AD ed N è il punto medio di BC. Ulteriormente,

∠ DAB = ∠ DCB e ∠ ADC = ∠ ABC,

come angoli che sottendono archi uguali. I triangoli ADM e CBM sono quindi simili, e AD / AM = BC / CC, o AK / AM = CN / CM. In altre parole, nei triangoli AKM e CNM, due coppie di lati sono proporzionali. Inoltre, gli angoli tra i lati corrispondenti sono uguali. Ne deduciamo che i triangoli AKM e CNM sono simili. Quindi, ∠ AKM = ∠ CNM.

Ora, dando un'occhiata ai quadrilateri OKXM e ONYM, entrambi hanno una coppia di angoli retti opposti, il che implica che entrambi sono inscrivibili in un cerchio. In OKXM, ∠ AKM = ∠ XOM. In ONYOM, ∠ CNM = ∠ YOM. Da cui otteniamo quello che stavamo cercando: ∠ XOM = ∠ YOM.

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