Teorema della divergenza: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Nel calcolo vettoriale un importante enunciato è il famoso teorema della divergenza. Conosciuto dagli studiosi delle varie Analisi Matematiche anche come il teorema di Ostrogradskij, è stato erroneamente accostato a Gauss poiché pensato dal grande e famoso matematico, fu anche enunciato precedentemente dal francese Lagrange ma come detto fu dimostrato solo dal Ostrogradskij. Detto teorema è molto importante al fine di poter determinare l'intensità di flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.
Dallo svolgimento della dimostrazione del teorema, infatti, si potrà realizzare come e quanto il flusso verso l'esterno di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa sia uguale all'integrale del volume della divergenza, sulla regione considerata, interna, alla superficie.
In fisica e in qualsiasi tipo di ingegneria, in particolare quelle che trattano la dinamica dei fluidi, esso può essere considerato su tre dimensioni. Ciò nonostante, si potrà estendere a qualsiasi numero di n dimensioni fino all'infinito. Riducendolo, però, ad una sola dimensione, esso sarà equivalente al teorema fondamentale del calcolo. Per due dimensioni, invece, risulterà equivalente al teorema di Green. In ogni caso, il teorema è da considerarsi un caso particolare del teorema di Stokes.

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Dimostrazione veloce del teorema

Veloce dimostrazione del teorema:
Si abbia un determinato fluido libero di scorrere in una precisa direzione, se si rende necessario voler conoscere quanto liquido potrà passare all'interno di una determinata sezione di controllo, sarà necessario sottrarre dall'input, l'output per la giusta equazione di continuità. Il flusso del fluido sarà, in quel momento, rappresentato da un preciso campo vettoriale, mentre detta divergenza del campo vettoriale in un dato punto dovrà descrivere la potenza dell'entrata o dell'uscita. Il passo successivo, sarà di fare l'integrale del campo della divergenza all'interno della regione, essa dovrà essere uguale all'integrale venuto fuori integrando il campo vettoriale sulla frontiera della regione. Il teorema, affermerà così quanto l'equivalenza sia lecita.
Tale teorema risultante sarà, pertanto, una legge di conservazione che mostra tangibilmente come il volume totale delle entrate e delle uscite, sia eguale all'integrale del volume della divergenza, esso è pari al flusso netto all'interno della frontiera.

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La supposizione che V sia il sottoinsieme

Se volessimo fare la supposizione che V sia il sottoinsieme di R^n (nel caso con n = 3, V sarà la rappresentazione di un volume giacente nello spazio di tre dimensioni), compatto con una frontiera regolare (che potrebbe, comunque, anche essere stata indicata con ∂ V = S). Se F sarà un campo vettoriale, comunque, sempre differenziabile definito su un intorno di V, allora si avrà che:
(1)
La parte sinistra dovrà essere un integrale di volume esteso a V, la parte destra dovrà, invece, essere l'integrale di superficie per la superficie del volume V. La superficie chiusa ∂V sarà generalmente la frontiera di V normalmente orientata, ed n sarà il versore normale uscente a ∂ V (dS potrà essere usato come abbreviazione per n dS.). Dal simbolo all'interno dei due integrali, sarà necessario sottolineare ancora una volta come ∂ V sia una superficie chiusa.

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Rappresentazione del totale delle sorgenti nel volume V

Cercando di capire come, il lato sinistro dell'equazione sarà la rappresentazione del totale delle sorgenti nel volume V, e il lato destro sarà, invece, la rappresentazione del flusso totale attraverso la ben nota superficie ∂ V.

Corollari necessari
Il prodotto di una funzione G scalare e un campo vettoriale F:
(2)
Il prodotto di due campi vettoriali:
(3)
Il prodotto di una funzione scalare ed un vettore, non nullo, costante:
(4)
Il prodotto tra il campo vettoriale ed un vettore, non nullo, costante:
(5).

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