Teorema della dimensione per spazi vettoriali: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il teorema della dimensione per spazi vettoriali è un teorema fondamentale della geometria e dell'algebra lineare, utile a trovare la reale dimensione di uno spazio basandosi sulla conoscenza di un'applicazione lineare che, da uno spazio iniziale, raggiunge il risultato in un altro ulteriore spazio vettoriale. Assieme ai successivi postulati, come quelli di Rouchè-Capelli, i risultati prodotti da questa dimostrazione sono essenziali per la risoluzione di sistemi lineari in incognite di cui vogliamo conoscere i risultati altrimenti incogniti. Vedremo, qui di seguito, l'enunciato e la sua dimostrazione.

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Occorrente

  • Un'applicazione lineare
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Enunciato

Presa un'applicazione lineare T appartenente allo spazio vettoriale V di coordinate {v (1),... V (n)} che ha risultati in un altro spazio W di coordinate {w (1),..., w (n)}, allora la dimensione di V è uguale alla somma del rango dell'applicazione T con la dimensione del suo nucleo: dimV=RgT+dimKerT.

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Dimostrazione

Sapendo che il KerT = somma dei v appartenenti a V tali cheT (v)=0 e quindi KetT={v (1), ..., v (k) con k minore o uguale a n}, per il teorema del completamento (che dice che presa una base B=v (1), ..., v (n) di V e P=w (1),... W (p) tale che p minore o uguale a n, esistono n-p vettori tali che, aggiunti a B, creano una base di V), formo una base B di V= {v (1), ..., v (k), v (k+1),... V (n)} dove però {v (1), ..., v (k)} appartiene al KerT; allora, per completare la dimostrazione, dobbiamo ottenere che i restanti {v (k+1), ..., v (n)} appartengono al RgT e formare una sua combinazione lineare (ovvero un'espressione del tipo [a (1) v (1)+... A (n) v (n)] dove le a (1)... A (n) sono scalari moltiplicati a vettori tra loro linearmente dipendenti.

Continua la lettura
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In conclusione

Prima di spiegare l'enunciato, è utile capire quali elementi sono utili alla dimostrazione. Il primo è l'applicazione lineare T, che sarebbe l'equivalente in analisi della funzione lineare; infatti di essa prende tutte le proprietà (iniettività, suriettività e biettività). In geometria però tale funzione si dice lineare solo se sono rispettate le regole di additività (T (v1)+T (v2) = T (v1+v2)) e omogeneità (T (xv1)=xT (v1) per ogni x numero reale). Abbiamo poi da capire cosa sono il rango, il nucleo (o cosiddetto kernel o ker) e la dimensione: il concetto di dimensione è per natura comprensibile come lo sviluppo nello spazio della nostra funzione, o meglio applicazione lineare; il rango sarebbe invece la dimensione dell'immagine di T, dove l'immagine è il sottoinsieme del codominio strettamente incluso di W, lo spazio vettoriale di arrivo.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Consiglio di studiare i fondamenti della geometria analitica prima di studiare questo teorema

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