Teorema della dimensione per spazi vettoriali: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: facile
16

Introduzione

Il teorema della dimensione per spazi vettoriali è un teorema fondamentale della geometria e dell'algebra lineare, utile a trovare la reale dimensione di uno spazio basandosi sulla conoscenza di un'applicazione lineare che, da uno spazio iniziale, raggiunge il risultato in un altro ulteriore spazio vettoriale. Assieme ai successivi postulati, come quelli di Rouchè-Capelli, i risultati prodotti da questa dimostrazione sono essenziali per la risoluzione di sistemi lineari in incognite di cui vogliamo conoscere i risultati altrimenti incogniti. Vedremo, qui di seguito, l'enunciato e la sua dimostrazione.

26

Occorrente

  • Un'applicazione lineare
36

Enunciato

Presa un'applicazione lineare T appartenente allo spazio vettoriale V di coordinate {v (1),... V (n)} che ha risultati in un altro spazio W di coordinate {w (1),..., w (n)}, allora la dimensione di V è uguale alla somma del rango dell'applicazione T con la dimensione del suo nucleo: dimV=RgT+dimKerT.

46

Dimostrazione

Sapendo che il KerT = somma dei v appartenenti a V tali cheT (v)=0 e quindi KetT={v (1), ..., v (k) con k minore o uguale a n}, per il teorema del completamento (che dice che presa una base B=v (1), ..., v (n) di V e P=w (1),... W (p) tale che p minore o uguale a n, esistono n-p vettori tali che, aggiunti a B, creano una base di V), formo una base B di V= {v (1), ..., v (k), v (k+1),... V (n)} dove però {v (1), ..., v (k)} appartiene al KerT; allora, per completare la dimostrazione, dobbiamo ottenere che i restanti {v (k+1), ..., v (n)} appartengono al RgT e formare una sua combinazione lineare (ovvero un'espressione del tipo [a (1) v (1)+... A (n) v (n)] dove le a (1)... A (n) sono scalari moltiplicati a vettori tra loro linearmente dipendenti.

Continua la lettura
56

In conclusione

Prima di spiegare l'enunciato, è utile capire quali elementi sono utili alla dimostrazione. Il primo è l'applicazione lineare T, che sarebbe l'equivalente in analisi della funzione lineare; infatti di essa prende tutte le proprietà (iniettività, suriettività e biettività). In geometria però tale funzione si dice lineare solo se sono rispettate le regole di additività (T (v1)+T (v2) = T (v1+v2)) e omogeneità (T (xv1)=xT (v1) per ogni x numero reale). Abbiamo poi da capire cosa sono il rango, il nucleo (o cosiddetto kernel o ker) e la dimensione: il concetto di dimensione è per natura comprensibile come lo sviluppo nello spazio della nostra funzione, o meglio applicazione lineare; il rango sarebbe invece la dimensione dell'immagine di T, dove l'immagine è il sottoinsieme del codominio strettamente incluso di W, lo spazio vettoriale di arrivo.

66

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Consiglio di studiare i fondamenti della geometria analitica prima di studiare questo teorema

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Helmholtz: dimostrazione

Il Teorema di Helmholtz è famoso, nelle materie scolastiche di matematica e fisica, come la teoria essenziale del calcolo vettoriale. Esso prende il nome dal fisiologo e fisico Hermann Von Helmholtz (1821-1894), che viene ritenuto uno degli scienziati...
Superiori

Elementi di algebra lineare

L'algebra lineare è una branca della matematica che studia principalmente gli spazi vettoriali, i vettori, le trasformazioni lineari e i sistemi lineari. Vedremo, in questa guida, quindi, gli elementi base di ognuno di questi argomenti dell'algebra lineare...
Università e Master

Teorema di Grassman

Il Teorema di Grassman prende il suo nome da un matematico di origine tedesca, che si chiamava per l'appunto Hermann Grassmann. Si tratta di una relazione matematica con la quale le dimensioni dei sottospazi vettoriali sono legate alle dimensioni del...
Università e Master

Teorema della divergenza: dimostrazione

Nel calcolo vettoriale un importante enunciato è il famoso teorema della divergenza. Conosciuto dagli studiosi delle varie Analisi Matematiche anche come il teorema di Ostrogradskij, è stato erroneamente accostato a Gauss poiché pensato dal grande...
Università e Master

Teorema del grafico chiuso: dimostrazione

Riuscire ad imparare la dimostrazione il teorema del grafico chiuso non è una cosa semplice da riuscire a fare, ma tuttavia cercheremo oggi di aiutarvi in tutto ciò in modo propedeutico e forse ciò che faremo vi potrà inizialmente sembrare strano,...
Università e Master

Teorema della funzione aperta (analisi funzionale): dimostrazione

Tra tutti i teoremi presenti in analisi funzionale, uno tra i più importanti è senza ombra di dubbio quello della funzione aperta, detto anche teorema dell'applicazione aperta o teorema di Banach - Schauder. Questo teorema è di fondamentale importanza...
Università e Master

Teorema di Hahn-Banach: dimostrazione

L'analisi funzionale, in matematica, presenta il Teorema di Hahn-Banach (ideato negli anni '20 grazie a Hans Hahn e Stefan Banach). Questo teorema permette di eseguire l'estensione e la dimostrazione di operatori limitati definiti su di un sottospazio...
Università e Master

Teorema di Stokes: dimostrazione

Nella geometria differenziale, ossia lo studio di oggetti geometrici come curve e superfici, il Teorema di Stokes è un enunciato riguardante l'integrazione delle forme differenziali. In particolare è volto a generalizzare i teoremi di calcolo vettoriale...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.