Teorema della curva di Jordan: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Teorema ricorrente negli studi di materie universitarie come la geometria, l'analisi e la topologia di spazi euclidei è il Teorema della Curva di Jordan. Sono infatti moltissimi gli enunciati che, a partire da questo teorema, ci restituiscono soluzioni a problemi più complicati. Di per sè, il teorema può apparire banale: vedremo che non è così, fornendo esempi e una rigorosa dimostrazione.

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Prima di introdurre il teorema, è necessario capire il concetto di curva di Jordan. Una curva nel piano è detta di Jordan se e solo se è chiusa e semplice, ossia gli estremi sono coincidenti e nessun punto interno interseca un altro punto interno.

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Il Teorema di Jordan ci dice che, data una qualsiasi curva di Jordan nel piano, questa lo divide in due parti: una interna e una esterna, la cui frontiera è delimitata dalla curva stessa. Sebbene possa sembrare molto banale come enunciato, possiamo vedere come, per figure complesse (ad esempio, un frattale) il lemma ci assicura che vi è una divisione netta tra interno ed esterno della curva, cosa che all'occhio potrebbe non apparire immediata.

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Lungo il corso degli anni vi sono state numerose dimostrazioni, ma nessuna soddisfacente fino al 1905. Le dimostrazioni moderne utilizzano concetti complessi di teoria degli spazi euclidei e di topologia matematica. Nel 2005 un team di matematici è riuscito a provare il Teorema della Curva di Jordan in 6500 righe utilizzando, per la verifica, un potente software di controllo matematico.

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Una delle dimostrazioni più semplici ed intuitive si basa su quattro lemmi. Il primo lemma afferma che, definito un poligono di Jordan, ossia un poligono nel piano avente le stesse proprietà delle curve (chiusura e semplicità), il teorema di Jordan vale per un qualsiasi poligono di Jordan. Il secondo lemma invece ci è d'aiuto nell'approssimazione di una curva di Jordan a un poligono di Jordan: questo rappresenta il passaggio intuitivo fondamentale che ci permette di estendere la dimostrazione al caso in cui la curva non sia un poligono. Il terzo lemma è puramente dimostrativo e ci dice che, data una qualsiasi curva di Jordan, la componente interna contiene un disco sulla cui frontiera è possibile prendere due punti tali che la distanza tra essi sia maggiore o uguale alla radice di 3. Il quarto lemma ci dice che, sotto le ipotesi considerate, esiste un percorso che copre i punti suddetti tale che per ogni punto la distanza tra la frontiera della curva e i punti sia minore di uno.

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Una volta enunciati e dimostrati i quattro lemmi, si possono utilizzare nella dimostrazione, che forniamo in inglese al link delle risorse. Vi è presente anche una tesi di laurea con una trattazione approfondita della storia del teorema e una sua dimostrazione alternativa.

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