Teorema della corda: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il teorema della corda è uno tra i teoremi più importanti della trigonometria; solitamente viene spiegato molto dettagliatamente, in quanto è molto utile per diverse applicazioni. È importante ricordare che il teorema della corda è alla base della dimostrazione del teorema dei seni, quindi non può essere assolutamente sottovalutato. In un triangolo rettangolo il cateto è uguale all’ipotenusa dell’angolo opposto per il coseno dell’angolo adiacente all'altro cateto. L’area di un triangolo invece, è uguale al prodotto di due lati consecutivi per il seno dell’angolo compreso, diviso due. In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri lati, meno il doppio prodotto degli altri due lati per il coseno dell’angolo. Nei passi della guida a seguire sarà spiegato come eseguire la dimostrazione del teorema della corda.

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Secondo il suo enunciato, questo teorema viene utilizzato per esprimere la lunghezza della corda tracciata lungo la circonferenza e per calcolare l'angolo compreso dalla corda stessa. Supponiamo di avere una circonferenza di raggio R e una corda inclusa tra i punti A e B della stessa; ogni angolo sviluppato sulla corda e con vertice sulla circonferenza, viene detto "angolo della circonferenza". L'angolo al centro è invece quello sotteso dalla corda, che presenta un vertice al centro della circonferenza. In una circonferenza la misura di una corda è uguale al prodotto di quella del diametro, moltiplicata per il seno di uno degli angoli; più precisamente in una circonferenza il rapporto che vi è tra una corda ed il seno di uno degli angoli (che insistono sulla corda stessa) è uguale al diametro della circonferenza.

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Vediamo adesso nel dettaglio la sua dimostrazione: consideriamo una figura e prendiamo in esame la corda AB; AC1B è uno degli angoli alla circonferenza che insistono su AB. Ciò che si deve dimostrare per risolvere il teorema è che AB/senAC1B=2r (BC1 è il diametro). Considerate adesso il triangolo BAC1 che dal momento che è inscritto in una semicirconferenza, può essere definito come rettangolo; deduciamo quindi AB=BC1 * sen AC1B. Da questo che abbiamo appena confutato, rileviamo che BC1=2r equivale alla dimostrazione del teorema.

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Possiamo anche considerare un altro esempio per poter ribadire ulteriormente la dimostrazione del teorema della corda. Una corda sottende due tipi diversi di angoli alla circonferenza, in quanto taglia la circonferenza in due parti. Gli angoli che hanno il vertice sulla parte più grande sono acuti, quelli con il vertice sulla parte più piccola sono ottusi; si consideri ADB come uno degli angoli alla circonferenza e che gli angoli opposti siano supplementari: AC1B=180°- ADB. Eseguendo la dimostrazione pratica avremo: AB/sen (180-ADB)=2r e AB/ senADB= 2r. Poiché la somma di un angolo del primo tipo con un angolo del secondo tipo è un angolo piatto, l'enunciato del teorema non presenta alcuna ambiguità.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ripetere la dimostrazione più volte per capirla bene. Controllare sempre le formule in modo da non sbagliarsi

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