Teorema della corda: dimostrazione

Tramite: O2O 02/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

L?applicazione trigonometrica ai triangoli rettangoli ha moltissime conseguenze nella geometria, per tale motivo è molto utile impararne teoremi e dimostrazioni, al fine di avere un chiaro quadro universale nell?ambito di questo aspetto matematico, che risulta essere uno dei principali teoremi alla base di moltissime altre dimostrazioni. In particolare il teorema della corda permette di legare una circonferenza ad una corda qualsiasi appartenente ad essa; questa viene ricavata a partire dal raggio e dall?angolo che sottende la corda scelta. Analizziamo quindi tale teorema ed osserviamone la dimostrazione in ogni suo caso verificabile.

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Occorrente

  • Foglio
  • Matita
  • Compasso
  • Righello
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Enunciato

L?enunciato di tale teorema, come precedentemente premesso, permette di ricavare la lunghezza di una corda qualsiasi di una circonferenza scelta utilizzandone il raggio ed un angolo che sottenda tale corda. Esso infatto afferma che date una circonferenza di raggio ?r? e una sua corda ?AB?, allora la lunghezza di ?AB? è uguale al prodotto tra il diametro di tale circonferenza ed il seno di un qualunque angolo ?a? che sottende la corda ?AB?. Per quanto a parole sembri difficile, in descrizione numerica esso appare molto semplice:AB= 2r? sen(a).Per comprendere al meglio tale teorema però non è sufficiente memorizzarne la formula, ma è necessario analizzare e comprenderne al meglio la dimostrazione. Cerchiamo dunque di rappresentarla per qualunque sia la corda presa in esame, analizzando i diversi casi.

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Prima dimostrazione

Se la corda ?AB? è un diametro della circonferenza presa in esame, si ha che AB= 2r. Sapendo che qualsiasi angolo che sottenda un diametro è retto, in quanto il suo corrispondente è piatto, ne segue che il seno ti tale angolo sarà sempre uguale a 1. Si dimostra quindi che quanto enunciato dal teorema della corda risulta vero per ogni arco?AB?=2r. Quindi:
AB= 2r? sen(a)= 2r? 1= 2r, con ?a?= 180, ovvero angolo retto. Si dimostra in tal modo il teorema preso in esame.

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Seconda dimostrazione

Nel caso in cui la corda ?AB? scelta non fosse un diametro, tracciamo il diametro ?AM?, ovvero la corda che passa per il punto ?A? ed il centro della circonferenza, toccandola sul punto che chiamiamo ?M?; l?angolo ?abm? risulterà quindi un angolo retto. Applicando dunque le funzioni trigonometriche del teorema di Pitagora ci ricaviamo la lungezza di ?AB? in funzione di ?AM?. Ovvero:AB= AM? sen(abm).Sapendo che AM=2r, possiamo tramutare la precedente uguaglianza in:AB= 2r? sen(abm).

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Prima osservazione

Notiamo che preso un qualunque punto ?H? sull?arco ?AB? su cui giace M, si ottiene che l?angolo ?ahb? è uguale all?angolo ?abm?, in quanto entrambi risultano angoli alla circonferenza che sottendono lo stesso arco. Quindi il precedente enunciato risulta verificabile per ogni valore attribuito ad ?a?, in quanto angolo che sottende la corda considerata, dato da un qualsiasi punto ?H? scelto. Ovvero:
AB= 2r? sen(ahb)= 2r? sen(a) con ?a? simbolo dell?angolo ?ahb? considerato.

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Seconda osservazione

Consideriamo quindi un qualunque altro punto ?K? sull?arco ?AB? in cui però non giace ?M?. Essendo il quadrilatero ?AHBK? inscritto in una circonferenza, gli angoli opposti ?ahb? e ?akb? risultano supplementari, ovvero:akb= (180-ahb). Quindi grazie all?utilizzo delle formule degli archi associati possiamo scrivere:sen(ahb)= sen(180-akb)= sen(akb). Ne segue che: AB= 2r? sen(a). Come dimostrazione del teorema delle corde sopra enunciato, con ?a? simbolo dell?angolo considerato.

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Conclusione

Il teorema risulta quindi dimostrato per entrami i casi e si dimostra dunque che considerato un qualunque angolo che sottenda un arco ?AB?, la lunghezza di tale arco è:AB= 2r? sen(a) con ?a? simbolo dell?angolo scelto.Come precedentemente affermato impararne a memoria la formula, come in qualunque altro aspetto della matematica e della fisica, non risulta sufficiente per una comprensione totale del teorema, che necessita della conoscenza della dimostrazione, al fine di ricordarlo molto meglio e soprattutto più piacevolmente.

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Teorema alla base di molti altri teoremi

Come precedentemente premesso tale teorema dellee corde è il principio fondante su cui poggiano altri tre teoremi a lui simili, ovvero riguardanti la lungezza di una corda appartenente ad una circonferenza. E, come già affermato, la conoscenza di questi è fondamentale per avere un quadro generale definito sulle basi della geometria.

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