Teorema della bisettrice: dimostrazione

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il compito di geometria è più vicino che mai e voi non siete assolutamente preparati. La geometria si sa, non è la materia più facile del mondo, non si tratta solo di formule da imparare a memoria, ma piuttosto è tutta una questione di cervello, giocando anche con furbizia e astuzia. In questa guida, con pochi e semplici passaggi, vi illustrerò le principali regole del teorema della bisettrice attraverso anche una semplice dimostrazione.

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Introduzione alla geometria

Il teorema della bisettrice dell'angolo interno di un triangolo appartiene a quella che è la geometria elementare. Per offrire una panoramica completa di questo argomento, definiamo prima una breve introduzione sulla storia della geometria, ossia una semplice trattazione su questa materia e sulle sue origini, insieme all'enunciato del teorema di Talete, che ci servirà successivamente per dimostrare il teorema delle bisettrici. Le origini della "geometria" risalgono ai tempi quasi certamente preistorici, e all'attività pratica dell'uomo che ricavò dalla natura i concetti delle varie figure geometriche. Così si formarono le idee di cerchio e semicerchio dall'osservazione della luna, l'idea di piano dalla superficie liscia di un lago, l'idea di retta dalla linearità di un raggio di luce, e molto altro ancora. Eudemo di Rodi affermava che "la geometria fu scoperta dagli Egizi sulla base delle loro misurazioni del terreno".

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Enunciato del teorema

Preso in considerazione il triangolo ABC, sia AD la bisettrice dell'angolo BÂC, cioè tale che sia: BÂD=DÂC. Vogliamo dimostrare che è: BD: DC=BA: AC. Infatti, condotta da C la parallela ad AD, sia E l'intersezione di questa parallela con il prolungamento del lato BA. Per il teorema di Talete, risulta: BD: DC=BA: AE. L'enunciato del Teorema della bisettrice dice che: dato un triangolo qualunque, la bisettrice di un suo angolo interno divide il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati.

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Soluzione finale

Ma essendo: BÂD=AÊC e DÂC=AĈE, perché, rispettivamente, angoli corrispondenti e angoli alterni interni rispetto alle rette parallele DA e CE, tagliate dalla trasversale AC, in base alla figura, si ottiene: AÊC=AĈE. Ne segue che il triangolo ACE è isoscele sulla base CE, per cui risulta: AE=AC. Tenendo conto di quest'ultima relazione, BD: DC=BA: AE diviene: BD: DC=BA: AC, che è quanto volevamo dimostrare. In poche e semplici mosse, abbiamo finalmente chiarito un teorema di geometria che, a monte, sembrava quasi impossibile risolvere. Con questo si conclude questa guida sulla dimostrazione del teorema della bisettrice.

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