Teorema della bisettrice: dimostrazione

Tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

La matematica è una materia ricca di formule, è vero, ma non richiede soltanto un impegno di tipo mnemonico. In questa disciplina è molto importante il ragionamento, che va sfruttato per applicare le formule ai diversi problemi. Lo studio della geometria, in particolar modo, prevede che si prendano in considerazione diversi elementi, come ad esempio i poligoni. Questi ultimi sono figure geometriche di tre lati o più lati, sui quali vengono applicati specifici teoremi. Prendiamo come riferimento i triangoli. Per questi poligoni, esistono alcune formule che ci permettono di calcolare perimetro e area. Ma un triangolo presenta in sé tanti altri elementi, tra cui la bisettrice. Si tratta sostanzialmente di un segmento che ha origine dal vertice di un angolo e cade sul lato ad esso opposto. Questa linea divide l'angolo in due parti perfettamente uguali. Nella seguente guida di geometria analizzeremo il teorema della bisettrice e la sua dimostrazione.

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Occorrente

  • Libro di geometria
  • Quaderno di appunti
  • Matita
  • Gomma per cancellare
  • Conoscenze di base sul calcolo matematico
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Il teorema di Talete alla base di quello della bisettrice

Il teorema della bisettrice dell'angolo interno di un triangolo e la sua dimostrazione fanno parte degli argomenti trattati dalla geometria elementare. Per capire meglio le origini di questo postulato, dobbiamo fare una breve premessa. Il teorema della bisettrice affonda le sue radici in quello di Talete, il quale si occupa delle relazioni che intercorrono tra segmenti omologhi. Questi ultimi si creano sulle trasversali ad opera di un fascio di rette parallele. Il teorema afferma che, date tre rette parallele a, b e c che tagliano due rette trasversali r e r' nei punti A, B e C, si avrà un rapporto costante tra i segmenti omologhi delle due trasversali. Da questo enunciato si articola poi la proposizione di Euclide sui triangoli. Le affermazioni principali fatte da Euclide sono due. Secondo il primo postulato, una retta parallela al lato di un triangolo genera dei segmenti sugli altri due lati del poligono. Il secondo enunciato, invece ci dice che una retta che genera tali segmenti è parallela al terzo lato del triangolo. Da qui ne ricaviamo il teorema della bisettrice, che andremo a dimostrare qui di seguito.

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Prima parte della dimostrazione

Ora che abbiamo fatto chiarezza sulle origini del teorema della bisettrice, passiamo alla sua dimostrazione. Prendiamo in considerazione il triangolo ABC. Identificheremo la bisettrice dell'angolo BÂC con il segmento AD tale che BÂD=DÂC. A questo punto dimostreremo che BD: DC=BA: AC. Portando da C la parallela ad AD, avremo E come punto d'intersezione tra la parallela e il prolungamento del lato BA. Secondo il teorema di Talete avremo BD: DC=BA: AE. Il teorema della bisettrice affferma che in un triangolo qualunque, la bisettrice di un suo angolo interno divide il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati. Stabilito ciò, completiamo la dimostrazione di questo enunciato con le restanti formule.

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Seconda parte della dimostrazione

Passiamo alla seconda parte relativa alla dimostrazione del teorema della bisettrice. Partiamo dal fatto che BÂD=AÊC e DÂC=AĈE, perché sono angoli corrispondenti e alterni interni rispetto alle rette parallele DA e CE. Queste ultime vengono tagliate dalla trasversale AC e ne ricaviamo che AÊC=AĈE. Da qui ne deduciamo che il triangolo ACE è isoscele sulla base CE, pertanto AE=AC. Teniamo in considerazione quest'ultima equazione e concludiamo che BD: DC=BA: AE diviene: BD: DC=BA: AC. Ed ecco che abbiamo dimostrato il teorema della bisettrice in pochi semplici passaggi. Andiamo ad applicare il teorema con la procedura appena esplicata ai triangoli che studiamo. Se abbiamo qualche difficoltà, aiutiamoci con una rappresentazione grafica della figura in questione.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Usare colori diversi per identificare le varie componenti del triangolo.
  • Tenere a mente i postulati di Euclide e Talete per la dimostrazione del teorema della bisettrice.
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