Teorema dell'infinità dei numeri primi: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è da sempre la materia più complicata sia per i bambini delle scuole elementari, sia per gli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà è dovuta soprattutto al fatto che i concetti sono tutti collegati tra di essi, per cui è necessario comprenderli appieno onde evitare difficoltà negli studi futuri. La matematica è una scienza esatta e si avvale di particolari insiemi di numeri e di dimostrazioni di teoremi, per operare. In riferimento a ciò nella seguente guida verrà spiegata la dimostrazione del teorema dell'infinità dei numeri primi.

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Gli insiemi numerici

Gli insiemi numerici sono: N numeri naturali; Z, insieme dei numeri interi che comprende N ed i suoi opposti (- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3). Si estendono poi nei numeri razionali denominati Q che sono quelli della forma M/N con N diverso da zero ed M ed N interi. A questi insiemi si aggiunge quello dei numeri reali, indicato con R che contiene Q e gli irrazionali, ovvero quelli che compaiono sotto le radici di ogni grado. Tutti questi insiemi sono infiniti, perché contengono un numero infinito di numeri ed esiste un teorema dell'infinità dei numeri primi di cui vedremo la dimostrazione.

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L'insieme dei numeri primi infinito

Allora esisterà un insieme di numeri primi infinito N: p1, p2, p3, p4, p5, p6..... PN; questi valori saranno in ordine crescente ed avranno come massimo è pN che è il numero più grande di tutti. Enunciamo l'ipotesi: PN è il massimo dei numeri primi. Ma ora osserviamo che se noi fattorizziamo, cioè scomponiamo un numero in fattori primi ed aggiungiamo 1 a questo valore, il quoziente del numero stesso per ciascuno dei suoi fattori, avrà sempre per resto 1. Ad esempio prendiamo un numero a caso 54 = 2 x 3 x 3 x 3 e 55 = 2 x 3 x 3 x 3 + 1. Facendo la prova della divisione otteniamo 55 = 2 x 3 x 3 x 3 +1, analogamente 55 = 3 x 18 + 1 oppure 55 = 27 x 2 + 1; anche 55 0 6 x 9 + 1. Cioè dividendo 55 per ognuno dei possibili fattori di 54 abbiamo relativo quoziente, ma il resto è sempre 1.

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Moltiplicazione dei numeri primi

Tornando alla lista dei nostri numeri primi che, per ipotesi, abbiamo detto essere finiti, li moltiplichiamo tutti tra di loro. P = p1 x p2 x p3 x p4 x …. X pN. Non c’è dubbio che il numero P ottenuto per prodotto è maggiore di ciascuno dei numeri, ed in particolare del massimo di essi. Cioè abbiamo ottenuto che P > pN ed a maggiore a maggior ragione se aggiungiamo 1 otterremo che P + 1 > pN. Abbiamo ottenuto un assurdo, cioè preso un numero primo che sia il massimo, ne abbiamo trovato uno più grande. Quindi l'insieme dei numeri primi è infinito; come volevasi dimostrare.

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