Per la dimostrazione, introduciamo un altro insieme Y ed un altra opzione C, allora noteremo che se l'intersezione tra X e Y non decisiva, allora per la terza proprietà del passo precedente, lo sarà il suo complementare c (XY). Ipotizzando, quindi, che X faccia vincere A su B e B su C, avremo: a) per ogni elettore di XY, avremo l'ordine A > B > C; b) per ogni elettore di Y - X, ossia Y cX, si avrà B > C > A; c) per ogni elettore di X - Y, ossia X cY, otterremo C > A > B; d) per ogni elettore di c (XY), infine, vale a dire cX U cY, si otterrà che C > B > A. La decisività di X comporta che A > B > C, ma dato che anche c (XY) è un insieme decisivo, allora C > A, il che ci porta al Paradosso di Condorcet, secondo cui le preferenze collettive possono essere cicliche, e quindi non transitive. A questo punto potremo studiare in maniera molto semplice il Teorema dell'Impossibilità di Arrow e per farlo dovremo leggere con molta attenzione tutti i passaggi precedenti.