Teorema dell'Impossibilità di Arrow: dimostrazione

Molto spesso, quando ci troviamo a studiare alcune materie, ci capita di non riuscire a comprendere alcuni argomenti che posso risultare abbastanza complessi. In questi casi sarebbe necessario ricercare ulteriori informazioni in grado di farci comprendere in maniera più semplice tutti gli argomenti di nostro interesse. Su internet potremo ricercare delle guide che riguardano la materia che stiamo cercando di studiare e che ci forniranno in maniera molto semplificata tutte le informazioni necessarie per riuscire a studiare con molta facilità ogni argomento. Nei passi successivi, in particolare, vedremo la dimostrazione di un importante teorema dell'economia modera: "Il Teorema dell'Impossibilità di Arrow".

• Leggere con attenzione la guida.

Arrow formulò questa teoria con lo scopo di trovare una procedura di scelta collettiva che portasse ad una decisione finale non arbitraria e nasce in risposta, tra gli altri, al conteggio di Borda, che risulta essere un ottimo sistema di valutazione ma non in grado di soddisfare un requisito fondamentale per la non arbitrarietà. La conclusione di tale teorema, però, è che non è possibile trovare una soluzione totalmente equa e valida universalmente.

Ipotizziamo che V sia l'insieme dei voti ed A e B siano le scelte. Per semplificare, ipotizziamo che non ci siano schede bianche o nulle e che il numero di votanti sia dispari, in modo da non avere situazioni di ex-equo. Ora se VA è l'insieme dei voti per A, è già determinato VB = V - VA. Precisiamo che ogni insieme che permetta la vittoria di una scelta sull'altra è detto "insieme decisivo". Se chiamiamo "alfa" l'insieme degli insiemi decisivi per A e detto X un insieme decisivo per l'opzione A, allora varranno le seguenti proprietà: se X è contenuto in X, allora X è contenuto in alfa; ogni voto sta in X od in un suo complementare; o X od il suo complementare sono decisivi.

Per la dimostrazione, introduciamo un altro insieme Y ed un altra opzione C, allora noteremo che se l'intersezione tra X e Y non decisiva, allora per la terza proprietà del passo precedente, lo sarà il suo complementare c (XY). Ipotizzando, quindi, che X faccia vincere A su B e B su C, avremo: a) per ogni elettore di XY, avremo l'ordine A > B > C; b) per ogni elettore di Y - X, ossia Y cX, si avrà B > C > A; c) per ogni elettore di X - Y, ossia X cY, otterremo C > A > B; d) per ogni elettore di c (XY), infine, vale a dire cX U cY, si otterrà che C > B > A. La decisività di X comporta che A > B > C, ma dato che anche c (XY) è un insieme decisivo, allora C > A, il che ci porta al Paradosso di Condorcet, secondo cui le preferenze collettive possono essere cicliche, e quindi non transitive. A questo punto potremo studiare in maniera molto semplice il Teorema dell'Impossibilità di Arrow e per farlo dovremo leggere con molta attenzione tutti i passaggi precedenti.