Teorema dell'elemento primitivo: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La dimostrazione di un teorema, in qualsiasi campo matematico, desta da sempre molte difficoltà. Spesso i passaggi vengono spiegati molto velocemente e questo è causa di incomprensione da parte di chi si avvicina alla loro risoluzione. È pur vero, però, che ogni teorema si trova alla base di un preciso processo matematico ed è quindi necessario capire bene sia l'enunciato che la dimostrazione, in modo da non avere problemi in futuro. Nella teoria dei campi, in matematica, il teorema dell'elemento primitivo caratterizza le estensioni considerate semplici (per semplificare possiamo dire che le estensioni semplici nascono dall'aggiunta di un solo elemento detto, appunto, elemento primitivo). In questo articolo spiegheremo la dimostrazione del teorema dell'elemento primitivo, un teorema che, a primo impatto, può risultare abbastanza difficile ma, un volta compresa la sua dimostrazione, può essere utilizzato con molta facilità.

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Occorrente

  • Ripetere la dimostrazione più volte per capire il meccanismo
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Questo teorema può essere considerato come il risultato della teoria dei campi. Prima di passare alla dimostrazione è opportuno citare il suo enunciato: consideriamo che F sia un campo e K sia una sua estensione. Siano α1, ..., αn ∈ (appartenenti) K degli elementi separabili su F. Date queste premesse si può dimostrare che α ∈ (appartiene) a K (che viene qui detto primitivo) in modo tale che F (α1, ..., αn) = F (α). Si può inoltre dimostrare che, se F è infinito, esistono c1, ....., cn ∈ (appartenenti) F in modo tale che ∑ (la sommatoria) ci αi risulti essere un elemento primitivo. Passiamo adesso alla sua dimostrazione.

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Proviamo adesso a supporre che F sia infinito. Siano f1 (x), f2(x) e F [x] i polinomi minimi di α1, α2, su F; sia L un campo di spezzamento del polinomio tale che f (x) = f1(x) f2(x) su F (α1, α2). Siano ancora α1 = u1,... Ur (dove u è l elemento primitivo) e α2 = v1,... Vs le radici di L di f1 (x) e f2 (x). Avendo già dimostrato che α2 è separabile su F, le radici appena citate possono essere distinte a due e due. Consideriamo adesso c e F in modo tale che per x = c non debba essere verificata nessuna di queste equazioni: ui + xvj = u1+ xv1 dove i = 1,..., r e j = 2,...., s. Possiamo quindi provare che α = α, +cα2 risulta essere un elemento primitivo. Di conseguenza l'inclusione F (α) ⊂ f (α1, α2) è naturalmente valida.

Continua la lettura
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Considerando F come un campo finito, di conseguenza essendo F (α1.... αn) di grado finito su F, anche F (α1.... αn) è considerato finito. Possiamo notare come il suo gruppo moltiplicativo risulti essere ciclico (e cioè un gruppo che viene generato da un unico elemento). Dal momento che a è un suo generatore allora segue che F (α1, .., αn) = F (α).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ogni formula trascritta qui deve essere studiata su dei libri o su internet in quanto molti simboli non vengono inseriti.

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