Teorema Del Seno e Coseno: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

I teoremi del seno e del coseno (o di Carnot) sono due teoremi generalmente utilizzati per la determinazione di tutti gli elementi relativi a triangoli generici. Il teorema dei seni sviluppa un rapporto di proporzionalità tra i seni degli angoli di un triangolo e, le lunghezze dei lati ad essi opposti. Il teorema del coseno, invece, si occupa del rapporto tra i coseni degli angoli e le lunghezze dei lati ad esso adiacenti. Anche se a prima vista presentano una dimostrazione differente, e sono ritenuti due teoremi separati, essi non vanno in contrasto tra di loro, anzi si completano, al punto di essere spesso considerati come un unico teorema trigonometrico. Vediamo di saperne di più tramite sul Teorema del seno e coseno attraverso la loro dimostrazione.

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Prendete in considerazione un triangolo generico ABC

Il teorema dei seni ci dice che, preso un triangolo generico ABC (avente lati AB, AC e BC e angoli a in CAB, b in ABC e c in BCA), sia BC/sen a=AC/sen b=AB/sen c. La proporzionalità diretta si esprime con la formula: 'BC: AC: AB=sen a: sen b: sen c'. Il teorema del coseno: preso in considerazione un triangolo generico ABC (avente lati AB, AC e BC e angoli a in CAB, b in ABC e c in BCA) sia AB^2=AC^2+BC^2 -2AC BC cos c. Procedete alla dimostrazione utilizzando il teorema di Pitagora. Tracciate l'altezza AH e otterrete 2 triangoli rettangoli ABH e AHC.

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Tracciate l'altezza CH

Per il teorema di Pitagora AB^2=AH^2+BH^2. Rispetto al triangolo AHC è possibile calcolare che l'altezza AH=AC sen c. Inoltre, rispetto ABC, BH=BC-HC=BC-AC cos c. Sostituite gli ultimi valori ottenuti nella prima formula e vi converrà che AB^2=AC^2 sen^2 c +BC^2 + AC^2 cos^2 c - 2 BC AC cos c. Partendo da quanto ottenuto e applicando la relazione trigonometrica fondamentale (sen ^2 a +cos^2 a=1) è possibile affermare che AB^2=AC^2+BC^2 -2AC BC cos c. Procedete adesso alla dimostrazione del teorema dei seni. In un triangolo ABC tracciate l'altezza CH. Ne risultano 2 triangoli rettangoli ACH e BCH.

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Applicate la proprietà transitiva

Applicando il teorema di Talete otterrete che CH=AC sen a e, per lo stesso motivo, CH=BC sen b. Si ottiene allora che AC sen a=BC sen b, da cui è possibile esprimere AC/sen b=BC/sen a. Tracciate ora l'altezza relativa al lato AC e chiamate il segmento risultante BK. Si ottengono anche in questo caso 2 triangoli rettangoli ABK e CBK. Applicando il teorema di Talete, otterrete che BK=AB sen a e, allo stesso modo, BK=BC sen c. Ne risulta allora che AB sen a= BC sen c. Da cui potete esprimere AB/sen c=BC/sen a. Per mezzo dell'altezza CH, avete dimostrato che AC/sen b=BC/sen a. Per mezzo dell'altezza BK, avrete dimostrato che AB/sen c=BC/sen a. Basta applicare ora la proprietà transitiva e otterrete che AC/sen b=BC/sen a=AB/sen c; l'ipotesi è dunque dimostrata.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Applicando il teorema di Talete, otterrete che BK=AB sen a e, allo stesso modo, BK=BC sen c.
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