Teorema del punto fisso di Brouwer: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
15

Introduzione

Luitzen Brouwer, nato nel 1881, fu un matematico olandese da sempre appassionato dell'algebra e della geometria, tanto da conseguire la cattedra di professore all'università di Amsterdam. Questa grande passione per la matematica e la logica, lo portarono a sostenere anche delle lezioni private per consolidare e diffondere le proprie conoscenze, fino all'elaborazione di alcune teorie. Tra questi ricordiamo il Teorema del punto fisso che, è uno dei teoremi fondamentali per quanto riguarda la teoria dei punti fissi, la quale ammette la soluzione di alcune funzioni tramite il suo stesso punto fisso, dimostrandone l'esistenza. Continuate nella lettura di questa interessante guida per scoprire in cosa consiste la dimostrazione del teorema del punto fisso di Brouwer.

25

Ogni funzione continua su un disco chiuso

Ricordiamo che con il teorema del punto fisso si approfondisce quello che è il concetto di funzione continua e della sua relazione con l'esistenza di questo punto. Questo teorema ha diverse rappresentazioni e dimostrazioni, ma vedremo quella più semplice da realizzare. Come prima cosa, fissiamo la definizione di punto fisso: il punto fisso di una funzione, definita in un insieme R, è un valore di x della funzione f tale che soddisfa la seguente formula: f (x) = x. Da questo si potrà dedurre che nella sua forma più semplice ogni funzione continua su un disco chiuso, sul piano euclideo, ha almeno un punto fisso in se.

35

La funzione è una curva che unisce il segmento verticale

Affinché l'argomento risulti più semplice e facile da comprendere diciamo che, una funzione definita nell'insieme dei punti [ 0,1 ], quindi in uno spazio monodimensionale, ha un punto z in cui la sua funzione f (z) è uguale al valore z. Dimostriamo quanto affermato con un grafico. La funzione cui si fa riferimento è una curva che unisce il segmento verticale, che si origina nel punto 0, con il segmento che ha origine nel punto 1 dell'asse delle x. La curva che si verrà a creare dovrà passare necessariamente per la bisettrice con equazione y=x. Nel punto (z, z) di intersezione tra la bisettrice e la curva della funzione, le ascisse e le ordinate assumono lo stesso valore, così come previsto nella condizione precedentemente enunciata: f (z)=z. Quindi, il punto (z, z) è un punto fisso della funzione.

Continua la lettura
45

Il teorema non è sempre valido

Il teorema di Brouwer dimostra l'esistenza di un punto fisso della funzione presa in considerazione, ma presenta, al tempo stesso, dei limiti. Tuttavia altri teoremi generalmente affermano non solo l'esistenza di un punto fisso partendo da quanto affermato da Brouwer con la sua teoria, ma ne dimostrano anche l'unicità. Ad esempio il teorema di Brouwer ci dice che facendo ruotare la sfera intorno al proprio asse, i punti fissi si trovano sempre nella regione considerata. È bene sapere, infine, che il teorema di cui abbiamo parlato non è sempre valido, perché non tutte le funzioni hanno dei punti fissi.

55

Consigli

Non dimenticare mai:
  • consultare libri di matematica
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Krasnoselskii: dimostrazione

Il Teorema di Krasnoselskii è uno dei teoremi di punto fisso che sono uno dei principali strumenti dell'analisi matematica non lineare. Questi teoremi hanno una miriade di applicazioni pratiche. I suoi risultati riguardano un operatore singolo; ma le...
Università e Master

Teorema di Caccioppoli: dimostrazione

Il Teorema di Caccioppoli è uno dei teoremi più importanti nell'ambito dei cosiddetti studi metrici. È noto anche come Teorema delle contrazioni o Teorema del punto fisso, anche se è ancora più giusto chiamarlo Teorema di Barnach-Caccioppoli, dai...
Università e Master

Teorema di Lagrange: dimostrazione

Quante volte abbiamo provato la dimostrazione di un teorema ognuno con il proprio modo di dare risultati diversi. Il Teorema di Lagrange nella sua dimostrazione non è così intuitivo per chi non dimostra conoscenze matematiche e geometriche. C'è chi...
Università e Master

Teorema di Bolzano: dimostrazione

Il "Teorema di Bolzano" (o "teorema degli zeri per le funzioni continue") prende il nome dal matematico e filosofo boemo Bernard Bolzano, vissuto tra il XVIII ed il XIV secolo. Tale teorema (da non confondere con il "teorema di Bolzano-Weierstrass" sulle...
Università e Master

Teorema della funzione inversa: dimostrazione

In matematica, ed in particolare nel calcolo differenziale, il terorema dela funzione inversa fornisce le condizioni sufficienti per una funzione per essere invertibile in un intorno di un punto del dominio. Il teorema definisce inoltre una formula per...
Università e Master

Teorema di Löwenheim-Skolem: dimostrazione

In questo articolo vorrei illustrarvi la dimostrazione del Teorema di Löwenheim-Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem si chiama così perché prende il suo nome dai suoi matematici ideatori Leopold Löwenheim e Thoralf Skolem. Il Teorema di Löwenheim-Skolem...
Università e Master

Teorema dei valori intermedi: dimostrazione

Il teorema dei valori intermedi è uno dei più importanti in matematica: esso serve infatti per arrivare, attraverso dei ragionamenti successivi, a definire il famoso e importante teorema di Weierstrass. Con i passaggi che seguono andremo a vedere nello...
Università e Master

Teorema della curva di Jordan: dimostrazione

Teorema ricorrente negli studi di materie universitarie come la geometria, l'analisi e la topologia di spazi euclidei è il Teorema della Curva di Jordan. Sono infatti moltissimi gli enunciati che, a partire da questo teorema, ci restituiscono soluzioni...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.