Teorema del punto fisso di Brouwer: dimostrazione

Tramite: O2O 07/06/2017
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Luitzen Brouwer, nato nel 1881, fu un matematico olandese da sempre appassionato dell'algebra e della geometria, tanto da conseguire la cattedra di professore all'università di Amsterdam. Questa grande passione per la matematica e la logica, lo portarono a sostenere anche delle lezioni private per consolidare e diffondere le proprie conoscenze, fino all'elaborazione di alcune teorie. Tra questi ricordiamo il Teorema del punto fisso che, è uno dei teoremi fondamentali per quanto riguarda la teoria dei punti fissi, la quale ammette la soluzione di alcune funzioni tramite il suo stesso punto fisso, dimostrandone l'esistenza. Continuate nella lettura di questa interessante guida per scoprire in cosa consiste la dimostrazione del teorema del punto fisso di Brouwer.

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Ogni funzione continua su un disco chiuso

Ricordiamo che con il teorema del punto fisso si approfondisce quello che è il concetto di funzione continua e della sua relazione con l'esistenza di questo punto. Questo teorema ha diverse rappresentazioni e dimostrazioni, ma vedremo quella più semplice da realizzare. Come prima cosa, fissiamo la definizione di punto fisso: il punto fisso di una funzione, definita in un insieme R, è un valore di x della funzione f tale che soddisfa la seguente formula: f (x) = x. Da questo si potrà dedurre che nella sua forma più semplice ogni funzione continua su un disco chiuso, sul piano euclideo, ha almeno un punto fisso in se.

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La funzione è una curva che unisce il segmento verticale

Affinché l'argomento risulti più semplice e facile da comprendere diciamo che, una funzione definita nell'insieme dei punti [ 0,1 ], quindi in uno spazio monodimensionale, ha un punto z in cui la sua funzione f (z) è uguale al valore z. Dimostriamo quanto affermato con un grafico. La funzione cui si fa riferimento è una curva che unisce il segmento verticale, che si origina nel punto 0, con il segmento che ha origine nel punto 1 dell'asse delle x. La curva che si verrà a creare dovrà passare necessariamente per la bisettrice con equazione y=x. Nel punto (z, z) di intersezione tra la bisettrice e la curva della funzione, le ascisse e le ordinate assumono lo stesso valore, così come previsto nella condizione precedentemente enunciata: f (z)=z. Quindi, il punto (z, z) è un punto fisso della funzione.

Continua la lettura
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Il teorema non è sempre valido

Il teorema di Brouwer dimostra l'esistenza di un punto fisso della funzione presa in considerazione, ma presenta, al tempo stesso, dei limiti. Tuttavia altri teoremi generalmente affermano non solo l'esistenza di un punto fisso partendo da quanto affermato da Brouwer con la sua teoria, ma ne dimostrano anche l'unicità. Ad esempio il teorema di Brouwer ci dice che facendo ruotare la sfera intorno al proprio asse, i punti fissi si trovano sempre nella regione considerata. È bene sapere, infine, che il teorema di cui abbiamo parlato non è sempre valido, perché non tutte le funzioni hanno dei punti fissi.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • consultare libri di matematica
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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