Teorema del guscio sferico: dimostrazione

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Difficoltà: media
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Introduzione

Il teorema del guscio sferico, o semplicemente teorema del guscio, rappresenta una semplificazione dello studio della gravitazione di corpi con simmetria sferica. >Fu formulato da Isaac Newton (matematico, fisico, filosofo naturale e astronomo inglese) autore della teoria della gravitazione universale ed è composto da due affermazioni:
1. Un guscio sferico di massa M, avente densità uniforme, esercita su una particella esterna una forza gravitazionale pari a quella di una particella puntiforme di massa M posta nel suo centro;
2. La forza gravitazionale esercitata da un guscio sferico avente densità uniforme su una particella posta al suo centro è nulla.
La sua dimostrazione fu opera di Carl Friedrich Gauss (matematico, astronomo e fisico tedesco) ma già Newton lo aveva fatto per spiegare a Robert Hooke (fisico, biologo, geologo e architetto inglese) la sua teoria della gravitazione, anche se soltanto in forma orale. Fa parte della meccanica classica che in fisica e in matematica rappresenta l'insieme delle teorie meccaniche sviluppate alla fine del 1904 e comprese all'interno della fisica classica.

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Occorrente

  • Dotarsi di un manuale di meccanica classica.
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Dimostrazione prima affermazione

Prendendo in considerazione un guscio sferico di raggio R di spessore quasi nullo e una particella di massa M che si trova a distanza r del guscio, bisogna poi procedere nel considerare il guscio come formato da vari anelli di raggio, spessore e massa, dove secondo la legge di gravitazione la forza di attrazione che ogni singolo anello esercita è:
Tale forza poi si dirige lungo r, annullando così le componenti radiali nella simmetria dell'anello, quindi la forza totale esercita dal guscio scaturisce da. Occorre ora esprimere e in funzione di s, per poter calcolare l'integrale, che avrà per estremi e .

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Dimostrazione seconda affermazione

Prendendo in esame la seconda dimostrazione invece, dividendo il guscio in tanti gusci di spessore infinitesimale e dando P come massa puntiforme all'interno del guscio e facendo passare un cono di semi-apertura α il suo asse si intersecherà nei punti A e B, quindi l'area del cono dalla parte di A sarà proporzionale al quadrato della distanza PA, e lo stesso vale per B.

Continua la lettura
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Duttilità di utilizzo del teorema del guscio sferico

Newton, come abbiamo già affermato in precedenza, non ha però dimostrato praticamente il teorema del guscio sferico, e la particolarità dello stesso riguarda la sua duttilità di utilizzo. Infatti, può essere applicato non solo per la forza gravitazionale, ma anche per la forza elettrostatica (la cosiddetta Forza di Coulomb, ovvero la forza esercitata da un campo elettrico su una carica elettrica), e per tutte le forze che dipendono dall'inverso del quadrato della distanza.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Consiglio di soffermarsi sulla prima dimostrazione.

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