Teorema del grafico chiuso: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Riuscire ad imparare la dimostrazione il teorema del grafico chiuso non è una cosa semplice da riuscire a fare, ma tuttavia cercheremo oggi di aiutarvi in tutto ciò in modo propedeutico e forse ciò che faremo vi potrà inizialmente sembrare strano, ma non preoccupatevi: procedere in tal modo vi renderà la vita molto più semplice. Quindi non demordete e fate tesoro di questa guida su come dimostrare il teorema del grafico chiuso. Buono studio!

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Occorrente

  • Ricercare esempi pratici e dimostrazioni del teorema.
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Alcuni cenni iniziali

Il teorema del grafico chiuso è uno dei punti cardine dell'analisi funzionale che va compreso e poi approfondito. La dimostrazione che si sviluppa attraverso la topologia del prodotto sullo spazio vettoriale X * Y, definita dalla norma: || (x, y) || X * y = ||X|| x + ||y|| y, di conseguenza il grafico di T, che è semplicemente il sottospazio di X * Y, e può essere dotato della norma indotta, denominata, "norma del grafico". Questa, supponendo T come continuo origina il grafico ovviamente chiuso, e in quanto tale, è dotato della norma del grafico ed è uno spazio di Banach.

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Alcune generalizzazioni comuni

Il teorema del grafico chiuso può avere anche delle generalizzazioni verso i più astratti spazi vettoriali topologici, infatti un operatore appare continuo se e solo se il suo grafico è chiuso sempre nello spazio X x Y dotato ovviamente della topologia prodotto. Il teorema preso in esame quindi prescinde ed è collegato con l'analisi funzionale.

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Dimostrazione

Consideriamo due insiemi X e Y e la conseguente funzione T: Y ----> Y. Così il grafico di T diventa il sottoinsieme del prodotto cartesiano X x Y dato da: F (T) := [(x, y): x E X, y = T (x)]. Bisogna supporre che X e Y siano due spazi di Banach e che T: Y ----> sia un operatore lineare. IN questo contesto la teoria del grafico chiuso afferma che T è funzione continua (e dunque operatore limitato) se e solo se il grafico è insieme chiuso nello spazio X x Y naturalmente dotato della tipologia prodotto. Quindi possiamo affermare altrettanto che risulta una equivalenza di affermazioni per quanto riguarda la successione [Xn] in X che converge a qualche elemento x, infatti la successione [T (Xn)] in Y può convergere anch'essa e il suo limite è T (x) oppure converge a qualche elemento y, e allora, y = T (x). Come avete avuto modo di notare allora abbiamo cercato di creare una rapida guida che potesse aiutarvi a comprendere in linea generale come dimostrare tale teorema, dotandovi di una nozione generale di questo, che andrà poi migliorato. Adesso non vi resta che munirvi di un buon manuale di analisi funzionale in modo tale da approfondire il vostro studio!

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Munirsi di un buon manuale di analisi funzionale.

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