Teorema del baricentro del triangolo: dimostrazione

Tramite: O2O 06/06/2017
Difficoltà: facile
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Introduzione

La geometria, come la matematica, sono due materia molto difficili da studiare ed in alcuni casi se non si è portati per lo studio di queste discipline, può essere necessario un piccolo aiuto per la comprensione degli argomenti più complessi. Su internet è possibile trovare numerosissime guide che cercano di spiegare nel miglior modo possibile i vari argomenti della geometria, in modo da consentire a tutti una più facile comprensione. In questa guida, in particolare, vedremo il Teorema del Baricentro del Triangolo e la sua dimostrazione. Attraverso pochi e semplici passaggi cercheremo di chiarire i dubbi che possono affliggere gli studenti che si accingono a studiare questa materia. Mettiamoci al lavoro.

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Definizione del teorema

Andiamo ad analizzare meglio il Teorema del baricentro del triangolo, il cui enunciato è il seguente: "Le mediane di un triangolo si incontrano in uno stesso punto, detto "baricentro". Ciascuna mediana, inoltre, resta divisa in due parti dal baricentro, di cui quella appartenente al vertice è il doppio dell'altra". .

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Individuare le mediane

Al fine di dimostrare interamente il teorema, è necessario dividere la procedura in due step: prima proveremo che le due mediane che partono daI vertici A e B sono divise in modo che AO=2OK e BO=2OH, poi che anche CP passa per il punto d'intersezione tra AK e BH.

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Definire le mediane del triangolo

Iniziamo ad identificare AK, BH e CP come le tre mediane del triangolo ABC ed il punto G quale intersezione delle prime due mediane, che partono dai vertici A e B. Individuando i due punti in cui le prime due mediane intersecano i rispettivi lati opposti, possiamo tracciare un segmento HK, parallelo alla base del triangolo, AB, e pari alla sua metà, in base ad una conseguenza indiretta del Teorema di Talete.

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Individuare il secondo segmento

Adesso possiamo individuare un altro segmento, JL, che ha come estremi i punti medi dei segmenti AG e BG, ed anch'esso parallelo ad AB e pari alla sua metà. A questo punto otterremo un parallelogramma HKJL che ha due lati opposti congruenti e paralleli, e, per questo motivo, le cui diagnali, HL e KJ, si dividono reciprocamente a metà. Di conseguenza, AJ=JO=OK e BL=LO=OK, il che dimostra la prima parte del teorema.

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Seconda parte del teorema

Ripetendo lo stesso ragionamento appena fatto, partendo dalle mediane AK e CP, il loro punto di incontro, assunto per assurdo come diverso da G, che chiameremo G', le dividerà entrambe in due parti, l'una il doppio dell'altra. Ma siccome esiste un solo punto che divide la mediana AK in modo che AO=2OK, allora l'ipotetico punto d'intersezione G' deve coincidere col punto originario G, il che prova la seconda parte del teorema.

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Reperire gli esercizi

A questo punto, dopo aver letto con attenzione tutte le indicazioni riportate nei passi precedenti di questa guida, sapremo finalmente cos'è il Teorema del Baricentro del Triangolo e come si fa per riuscire a dimostrare correttamente tale teorema. Non ci resta altro da fare che provare a svolgere alcuni esercizi che richiedono l'applicazione di tale teorema, facilmente reperibili online o sui libri scolatici.
Il teorema del baricentro del triangolo non è di difficile dimostrazione, ma va capito prima. Per farlo è necessario impiegare del tempo per praticare degli esercizi e per metabolizzare l'argomento. Con la pratica e magari affidandovi ai consigli di questa guida riuscirete in breve tempo a dimostrare questo teorema in maniera molto più veloce. Vi auguro quindi buon lavoro e buono studio.
Alla prossima.

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