Teorema dei valori intermedi: dimostrazione

Tramite: O2O 27/08/2017
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il teorema dei valori intermedi è uno dei più importanti in matematica: esso serve infatti per arrivare, attraverso dei ragionamenti successivi, a definire il famoso e importante teorema di Weierstrass. Con i passaggi che seguono andremo a vedere nello specifico quella che è la dimostrazione del teorema.

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Occorrente
  • Libro di matematica
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L'enunciato

Cominciamo subito la dimostrazione partendo dall'enunciato: sia f una funzione continua in ogni punto di un intervallo chiuso [a, b]. Si scelgano due punti arbitrari X1: la prima cosa da considerare è che stiamo parlando di una funzione continua, ovvero una funzione che non ha discontinuità nell'intervallo che stiamo considerando, che in questo caso chiuso, ossia che comprende anche gli estremi nell'insieme. Questo vuol dire che, per Bolzano, essa ammetterà un punto nell'intervallo, in cui la derivata sarà nulla. Allora, prendendo due funzioni interne ad [a, b] e creando un sottointervallo (X1, X2), il teorema va a dimostrare che tutta la funzione è definita nello stesso sottointervallo descritto dalle funzioni che lo delimitano.

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Dimostrazione

Passiamo ora alla fase si dimostrazione vera e propria di questo teorema. Innanzitutto supponiamo f (X1) 0. Purtroppo la risposta è no e i controesempi sono piuttosto confusi. Il controesempio più semplice che si può fare è la funzione, la quale non riesce ad essere continua in x = 0. D'altra parte non è troppo difficile vedere che f (x) è il valore intermedio anche su intervalli chiusi contenenti x = 0.

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Il teorema di Bolzano

Di conseguenza, per | x | abbastanza grande, P (x) e x ed n hanno lo stesso segno. Pertanto, ne consegue che, se n > 0, ci sono numeri reali x 0 0. Allo stesso modo, se un n 0 e P (x 1)

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Consigli
Non dimenticare mai:
  • Studiare i fondamenti di analisi prima di affrontare questa dimostrazione.
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