Teorema dei valori intermedi: dimostrazione

Tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il teorema dei valori intermedi è uno dei più importanti in matematica: esso serve infatti per arrivare, attraverso dei ragionamenti successivi, a definire il famoso e importante teorema di Weierstrass. Con i passaggi che seguono andremo a vedere nello specifico quella che è la dimostrazione del teorema.

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Occorrente

  • Libro di matematica
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L'enunciato

Cominciamo subito la dimostrazione partendo dall'enunciato: sia f una funzione continua in ogni punto di un intervallo chiuso [a, b]. Si scelgano due punti arbitrari X1: la prima cosa da considerare è che stiamo parlando di una funzione continua, ovvero una funzione che non ha discontinuità nell'intervallo che stiamo considerando, che in questo caso chiuso, ossia che comprende anche gli estremi nell'insieme. Questo vuol dire che, per Bolzano, essa ammetterà un punto nell'intervallo, in cui la derivata sarà nulla. Allora, prendendo due funzioni interne ad [a, b] e creando un sottointervallo (X1, X2), il teorema va a dimostrare che tutta la funzione è definita nello stesso sottointervallo descritto dalle funzioni che lo delimitano.

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Dimostrazione

Passiamo ora alla fase si dimostrazione vera e propria di questo teorema. Innanzitutto supponiamo f (X1) < f (X2) e sia k un qualsiasi valore compresa tra f (X1) e f (X2). Sia g la funzione definita su [X1, X2] come segue: g (X) = f (X) - k. Questa g è continua in ogni punto di [X1, X2] e si ha g (X1) = f (X) - k < 0 e g (X2) = f (X2) - k > 0. Purtroppo la risposta è no e i controesempi sono piuttosto confusi. Il controesempio più semplice che si può fare è la funzione, la quale non riesce ad essere continua in x = 0. D'altra parte non è troppo difficile vedere che f (x) è il valore intermedio anche su intervalli chiusi contenenti x = 0.

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Il teorema di Bolzano

Di conseguenza, per | x | abbastanza grande, P (x) e x ed n hanno lo stesso segno. Pertanto, ne consegue che, se n > 0, ci sono numeri reali x 0 < x 1, tale che P (x 0) <0 e P (x 1)> 0. Allo stesso modo, se un n <0, si può ottenere un valore di x 0 < x 1, tale che P (x 0)> 0 e P (x 1) <0. In entrambi i casi, la guida segue direttamente dal valore intermedio. La domanda che a questo punto della spiegazione sorge naturale è se ogni funzione è in grado di soddisfare i valori intermedi del Teorema. Applicando adesso il teorema di Bolzano (che dice che presa una funzione continua in tutti i punti di un intervallo chiuso [a, b], supponendo che f (a) e f (b) abbiano segni opposti, esiste almeno un c nell'intervallo aperto (a, b) tale che f (c)=0) alla g, troviamo che deve essere per forza g (c) = 0 per qualche c compreso tra X1 e X2. Tuttavia questo sta a significare che f (c) = k e allora la dimostrazione è stata effettuata: abbiamo infatti che f assume sull'intervallo (X1, X2) tutti i valori compresi tra f (X1) e f (X2).

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