Teorema degli zeri

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Oramai è risaputo, la matematica, è una delle materie più complesse da studiare, per cui potrebbe capitare, che alcuni, dei tanti argomenti che la costituiscono, risultino di difficile comprensione. Per ovviare a ciò, il web, ha messo a disposizione moltissime guide, che spiegano in maniera più dettagliata, tutte le varie regole e argomentazioni che riguardano questa materia. In questa guida, in particolare, andremo a conoscere, il cosiddetto teorema degli zeri e dimostrarlo nella maniera corretta.

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L'ideatore del teorema

Nello studio dell'analisi matematica, arriverà il momento, in cui ci imbatteremo nel Teorema di Bolzano o teorema degli zeri. Esso, afferma, che in una funzione continua, che assuma variabili opposte ai due estremi di un intervallo, interseca necessariamente l'asse delle ascisse X, in almeno un punto, ovvero, che abbia almeno una radice reale. Formalizzando, Bernard Bolzano, l'ideatore del teorema, dimostrò che data una f: [a; b]-->R, continua, tale che f (a) * f (b) < 0, esiste almeno una x in (a; b) tale che f (x)=0.

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Dimostrazione

La dimostrazione, va condotta per assurdo: pertanto, supponiamo che f (x) sia diverso da zero per ogni x appartenente all'intervallo (a; b). Quindi, di conseguenza, considerare l'insieme A che contenente tutte le x comprese tra a e b, tali che f (x) < 0. L'insieme A, non è vuoto, in quanto sicuramente, contiene almeno a ed ha come estremo superiore, invece, b. Inoltre, dato l'assioma di completezza, si può affermare, che esiste un x'=sup (A) < oppure = b, ovvero un maggiorante di A, ma se f (x') < x', allora f (x') non è maggiorante di A.

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Ipotesi e contraddizioni

Come abbiamo notato, nei due esempi riportati nel paragrafo precedente, si giunge ad una contraddizione delle ipotesi e quindi a casi assurdi. Infatti per f (x') > 0, le ipotesi prevedono x'0) piccolo quanto si vuole c, tale che per ogni x che appartiene all'intorno [x', x'+c] che è incluso in [a; b], si ha f (x)<0, ma questo è assurdo perché in contrasto con la prima proprietà dell'estremo superiore. Se invece f (x') > 0, allora x'>a e sempre per la permanenza del segno, se si considera un numero piccolo quanto si vuole c, tale che per ogni x appartenente all'intorno [x'-c; x'] che è incluso in [a; b] si ha che f (x) > 0, ma questo contraddice la seconda proprietà dell'estremo superiore.

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Consigli e conclusioni

Infine, arrivati a questo punto, probabilmente (almeno si spera) avremo una visione un po' più chiara riguardo questo complesso teorema. Invece, se la matematica non fosse il nostro forte, potremmo, comunque, trovare qualche altro metodo per studiare oppure impegnarsi un po' di più e con un po' di pazienza e memorizzando più volte le indicazioni riportate all'interno di questa guida, riusciremo, alla fine, a capire tutti i passaggi che lo compongono.

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