Svolgere i sistemi lineari

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Un sistema lineare è un insieme di equazioni lineari che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Un'equazione lineare è un'equazione dove le incognite figurano tutte al primo grado. Svolgere un sistema lineare vuol dire trovare i valori di tutte le incognite che in esso sono presenti e che trasformano tutte le equazioni del sistema in identità. In questa guida vediamo proprio come effettuare questo svolgimento.

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Per questo tipo di risoluzione faremo riferimento ad un sistema lineare composto da due equazioni così fatte: la prima equazione è 3x + 4y = 18, mentre la seconda è 2x + 5y = 19.

Costruiremo poi la matrice base A e quelle da essa derivate Ax e Ay.

La matrice A è costituita dai coefficienti delle incognite: quindi sarà uguale a è[3 4; 2 5], rappresentata elencando gli elementi per riga, con il simbolo di ";" a separare le righe tra di loro. In questo caso la rappresentazione suggerisce che la matrice è di due righe, sulla prima riga ci sono due elementi (il numero 3 e il numero 4), mentre sulla seconda riga ci sono altri due elementi (il numero 2 e il numero 5).

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Per costruire la matrice Ax devo prendere A e sostituire la prima colonna (che conteneva i coefficienti della variabile x) con i termini noti (i numeri 18 e 19).
Quindi Ax = [18 4; 19 5].


Analogamente costruisco la matrice Ay, prendendo ancora A ma sostituendo questa volta la seconda colonna (che nella matrice originale conteneva i coefficienti della variabile y) con i termini noti del sistema lineare.
Otterrò Ay = [3 18; 2 19].

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A questo punto del procedimento devo calcolare i determinanti delle tre matrice A, Ax e Ay. Ti ricordo che il determinante di una matrice quadrata 2x2 (composta cioè da due righe e due colonne) si calcola facendo la differenza tra il prodotto dei due elementi della diagonale principale e il prodotti dei due elementi della diagonale secondaria.

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Quindi il determinante della matrice A (abbreviato con det A) è uguale a (3x5)-(2x4) = 7, il determinante della matrice Ax, det Ax = (18x5)-(19x4)= 14 e infine il determinante della matrice Ay, det Ay = (3x19)-(2x18) = 21.

Ora ti dico che x = det Ax / det A, mentre y = det Ay / det A e ci accingiamo a fare gli ultimi calcoli.

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Ti ricordo che det A = 7, det Ax = 14, mentre det Ay = 21, quindi riprendendo le formule del passo precedente ottengo che x = 14/7 = 2, poi che y = 21/7 = 3.

Facciamo la verifica nel sistema lineare di partenza: prendo la prima equazione e al posto di x considero il valore 2 e al posto di y metto il valore 3, ottenendo l'identità 18 = 18. Analogamente faccio con la seconda equazione, ottenendo di conseguenza l'identità 19 = 19.

Quindi ottenendo la soluzione x = 2 e y = 3 ho svolto con successo il sistema lineare oggetto di questa guida.

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