Studio di funzioni goniometriche

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Imparate a studiare le funzioni goniometriche è molto utile per via dell'importanza che esse rivestono in moltissimi ambiti sia della matematica, nell'ambito dell'elettronica ed elettrotecnica, della meccanica e delle telecomunicazioni. Queste funzioni derivano dallo studio della trigonometria e degli angoli dei triangoli, attraverso cui sono emerse funzioni particolari chiamate seno e coseno, che hanno permesso di stabilire nuove relazioni e regole. Le funzioni sinusoidali vengono infatti spesso usate per la risoluzione di circuiti elettrici, mentre la funzione coseno rappresenta un particolare modo per filtrare un segnale dovuto ad una qualche trasmissione.

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Periodicità

Questo tipo di funzioni hanno la caratteristica di essere periodiche (almeno nella loro forma base), cioè dopo un certo periodo T, assumeranno lo stesso andamento che avevano nel periodo precedente, in quando la funzione sul grafico cartesiano deriva dall'osservazione della funzione su una circonferenza goniometrica (che appunto dopo un giro totale ripercorre la stessa strada).

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Asintoti

Fortunatamente per le funzioni goniometriche non ci sono asintoti orizzontali o obliqui, quindi si possono cercare solo gli eventuali verticali (ma è raro che ci siamo).
Procediamo poi con l 'intersezione con gli assi (ponendo prima x=0 e poi y=0 per ottenere le intersezioni rispettivamente con l'asse Y e X) e calcoliamo i limiti per x che tende a più o meno infinito (e se dovessero esserci dei punti di discontinuità facciamo i limiti destro e sinistro di tale punto).
Cerchiamo anche dove la funzione è positiva o negativa, ponendola maggiore di zero, e siamo a buon punto per poter finalmente disegnare la nostra funzione.
Ora non ci rimane che calcolarne la derivata, ponendola successivamente uguale a zero per calcolare eventuali massimi o minimi della funzione, e successivamente con la derivata seconda possiamo anche stabilire la concavità o convessità delle varie curve che la compongono.
Avendo tutti gli strumenti necessari, possiamo disegnare la nostra funzione.
Buon lavoro!

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Periodo

Quando ci si approccia allo studio di una funzione goniometrica, è bene tener presente che la prima cosa da fare è individuarne il periodo, in modo tale da poter limitarne lo studio solo in quella porzione di grafico (solitamente è 2 pigreco).
Poi passiamo al dominio e in questo caso ricordiamo che seno e coseno sono funzioni definite in tutto l'insieme R, mentre bisogna prestare attenzione alla tangente e alla cotangente, che hanno dei punti di discontinuità in cui vanno a più infinito. Inoltre è bene ricordare che se si ha una di queste funzioni al denominatore, essa va posta assolutamente diversa da 0.

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