Studio della derivata prima

Tramite: O2O 21/10/2015
Difficoltà: media
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Introduzione

Furono principalmente Newton e Leibniz a sviluppare, indipendentemente l'uno dall'altro, i concetti fondamentali del calcolo integrale. I due matematici riuscirono a fondere il calcolo integrale con il secondo grande ramo dell'analisi: il calcolo differenziale.
Il concetto fondamentale del calcolo differenziale è quello di derivata. Come l'integrale, anche il concetto di derivata ha le sue origini in un problema geometrico: trovare la tangente a un punto di una curva. Tuttavia, a differenza dell'integrale, il concetto di derivata fu sviluppato piuttosto tardi.
Fermat, successivamente, nel tentativo di determinare la direzione della tangente a un punto arbitrario della curva, scoprì alcune delle nozioni fondamentale su cui si fonda lo studio della derivata prima.

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Il metodo dello studio della derivata prima si basa sul principio che se la derivata prima è positiva, la funzione è crescente, mentre, se la derivata prima è negativa, la funzione è decrescente.
Per sapere se ci troviamo di fronte a uno dei due casi, occorre che noi troviamo il segno della nostra derivata.
Una volta posta la derivata maggiore di zero, possiamo avere di fronte tre casi: punto di massimo, punto di minimo o punto di flesso, orizzontale o verticale.

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Nel concetto di derivata, si parte da una funzione f definita almeno su un intervallo aperto (a, b) sull'asse delle x. Si prende un punto fisso x su questo intervallo e si scrive il rapporto incrementalef (x+h)-f (x)/h
dove il numero h, che può essere positivo o negativo (ma non nullo), è tale che anche x+h si trovi nell'intervallo (a, b).
Ora facciamo tendere h a zero e vediamo come ciò si ripercuote sul rapporto. Se esso tende a un qualche valore limite determinato (il che implica che questo limite sia lo stesso quando h tende a zero sia attraverso valori positivi che attraverso valori negativi), allora tale limite prende il nome di DERIVATA DI F IN X e si indica con il simbolo f'(x) (letto ''f primo di x'').

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Per fare ciò, dobbiamo calcolare la derivata prima della funzione; successivamente, poniamo la derivata uguale a zero e, in questo modo, troviamo la x.
Dopo aver fatto questo, calcolo la funzione di partenza nel punto in cui si trova la x. A questo punto, a meno che non ci siano errori di calcolo, avremo sicuramente un punto con un'ascissa e un'ordinata e valuto se è un massimo, un minimo o un flesso.
Poi, pongo la derivata prima maggiore di zero e calcolo per quale valore di x la derivata è positiva.
Infine, in base ai massimi, ai minimi e ai flessi, avrò un grafico per ogni funzione.

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