Studio dei limiti di una funzione
Introduzione
La matematica è sempre stata per eccellenza la materia più complicata per gli studenti di qualsiasi livello scolastico, per il semplice motivo che i concetti sono strettamente collegati fra loro. Uno di questi è sicuramente la funzione, il cui simbolo è F (x), che è definita come la relazione che esiste tra due insiemi di numeri, che a loro volta vengono definiti come dominio e codominio di una funzione. In altre parole, la funzione può essere paragonata ad una macchina elettrica avente un ingresso e un'uscita, dove quest'ultima è legata in qualche modo all'ingresso. Ecco allora, attraverso i passi della seguente guida, una breve panoramica sullo studio dei limiti di una funzione.
Calcolo dell'asintoto orizzontale
Partiamo subito con il calcolo dell'asintoto orizzontale. Questo parametro serve a valutare l'andamento della funzione ad infinito. Condizione base per cui si possa eseguire questo calcolo è che la funzione non sia finita, ovvero che abbia dei valori x infiniti. Esiste l'asintoto orizzontale se è verificata la seguente condizione:
Il limite per x che tende a più o meno infinito è uguale a c.
Calcolo dell'asintoto verticale
Per calcolare la possibile esistenza di un asintoto verticale, prima di tutto è necessario studiare il dominio della funzione in questione. Di seguito riportiamo un esempio atto a semplificare la comprensione. Data la funzione f (x) = 1 / (x^2 - 9), studiamo il dominio della funzione trovando che esso è per qualsiasi x diversa da -3 e 3, valori in cui la funzione non ha modo di esistere. Questi due valori verranno utilizzati per valutare l'andamento della funzione in quei due punti. La retta x = a (dove a è un valore reale non incluso nel campo di esistenza della funzione) è asintoto orizzontale se è verificata almeno una delle seguenti condizioni:
1- Il limite per x che tende ad a+ è uguale a più o meno infinito; 2- Il limite per x che tende ad a- è uguale a più o meno infinito.
Calcolo dell'asintoto obliquo
Infine, un asintoto obliquo si verifica quando la funzione segue all'infinito l'andamento di una retta obliqua, quindi per poterlo calcolare dovremo trovare il coefficiente angolare m e l'ordinata all'origine q della retta stessa. Per trovare i valori m e q, le formule sono:
1- Il limite per x che tende a più o meno infinito di f (x)/x è uguale ad un valore finito e reale che rappresenta la m, ovvero il coefficiente angolare della retta obliqua.
2- Il limite per x che tende a più o meno infinito di (f (x) - mx) è uguale ad un valore finito e reale che rappresenta la q, ovvero l'ordinata all'origine della retta obliqua.