Studio completo di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

All'interno della presente guida andremo a occuparci di matematica e, nello specifico, ci concentreremo sullo studio completo di una funzione. Andiamo immediatamente a trattare l'argomento.
Lo studio completo di una funzione determina le caratteristiche qualitative della stessa. Uno studio completo di una funzione svolto correttamente consente di tracciare il grafico della stessa funzione. Per fare ciò dovrete approfondire alcuni concetti base.

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Determinazione del dominio

Per poter svolgere uno studio di una funzione bisogna prima di tutto andare a determinare il dominio della funzione. Ma che cos'è il dominio di una funzione? Esso è semplicemente l'insieme dei valori all'interno del quale viene definita la funzione stessa. Possiamo definire cinque differenti casi particolareggiati. Vediamoli.
Per uno studio completo di una funzione, li dovrete conoscere! Se avete una funzione lineare, il dominio si trova in tutto l'asse R. Nella funzione fratta, ponete il denominatore diverso da zero. Se vi imbattete in una funzione logaritmica l'argomento del logaritmo dovrà essere maggiore di zero. Nella funzione con radicale ad indice pari il termine sotto radice dovrà essere maggiore o uguale a zero. Infine nella funzione con radicale ad indice dispari invece, il dominio è su tutto R!

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La ricerca delle intersezioni

Per eseguire uno studio completo di una funzione, ricercate le intersezioni degli assi cartesiani. Per trovare le intersezioni sull'asse x mettete la funzione di partenza a sistema con l'equazione dell'asse x (y=0). Per quanto riguarda l'intersezione relativa all'asse y, dovrete posizionarla a sistema attraverso una x uguagliata a zero. Ma c'è un aspetto che non va assolutamente dato per scontato: le intersezioni non sono presenti in tutti i casi. Per questo motivo, qualora non riusciste a trovare dei valori, non dovrete preoccuparci eccessivamente.

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Il calcolo del punto estremo

Una volta che sarete arrivati fino a questo punto, dovrete proseguire attraverso il calcolo del punto estremo. Facciamo immediatamente un esempio chiarificatore: all'interno della funzione y=logx bisogna andare a valutare ciò che succede in x=0. Per questo motivo, dovremo andare a scrivere così: limx->0+ logx.
In questo specifico caso il limite sarà pari a meno infinito. La funzione è allora illimitata inferiormente. Se il limite restituisce un numero questo è il punto di accumulazione. Per uno studio completo di una funzione, dovrete conoscere tali concetti.  

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Il segno della funzione

Per uno studio completo di una funzione, esaminate il segno della funzione. La funzione è positiva sopra l'asse x; è negativa sotto l'asse x. Per far ciò ponete la funzione maggiore di zero. A questo punto tracciate uno schizzo del grafico della funzione.
Ora andate a sistemare quelli che sono i punti che vanno a intersecarsi con gli assi, andando ad annerire tutte quelle zone dove la funzione si dimostra esser negativa. Semplicemente, starete andando a indicare che in quei punti specifici il grafico non passerà. Molto semplice.

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Gli asintoti

Giunti a questo punto, sarà arrivato il momento della determinazione degli asintoti. Dobbiamo ricordare l'esistenza di tre diverse tipologie di asintoti: orizzontale, verticale e obliquo. Vediamoli tutti e tre.
Per l'asintoto orizzontale, calcolate il limite a + e -inf della funzione. Poi vi è l'asintoto verticale. In questo caso calcolate il limite al valore escluso dal dominio della funzione. Infine esaminate l'asintoto obliquo. Qui rintracciate il limite a + e -inf di f (x)/x.

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La derivata prima

Una volta che sarete arrivati fino a questo punto dello studio della funzione, dovrete proseguire attraverso il calcolo della derivata prima, al fine di poter andare a individuare la decrescenza e la crescenza della funzione, attraverso i punti di minimo e di massimo.
Una volta calcolata la derivata, ponetela maggiore di zero. Se la funzione è crescente non presenterà né punti di massimo né punti di minimo. Questi si trovano in corrispondenza del cambiamento di segno della derivata prima. Se in un intervallo è crescente e in quello successivo è decrescente avrete un punto di massimo. Se si verifica il contrario avrete un punto di minimo.

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La derivata seconda

Calcolate ora la derivata seconda. Questa fornisce indicazioni sulla concavità/convessità della funzione. Ponetela maggiore di zero. Se c'è la diseguaglianza, otterrete che la funzione rivolge la concavità verso l'alto. In caso contrario la concavità sarà verso il basso. Nei punti in cui avete un cambio di concavità, troverete i cosiddetti punti di flesso.

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