Spiegazione del teorema di di Bertrand

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La fisica è un ramo della scienza che studia argomenti molto vasti, che riguardano diverse leggi come quella gravitazionale. Molti sono stati i fisici che negli anni attraverso metodi scientifici e sperimentando delle ipotesi, hanno dato origini a teorie tutt'ora valide, esponendole attraverso i teoremi, tra questi ricordiamo il fisico Bertrand. Il teorema di Bertrand utilizza una tecnica presa in prestito da un problema inverso, riguardante il movimento unidimensionale; la prova del teorema di Bertrand riguardante le possibili forze centrali che portano ad orbite chiuse è stata notevolmente semplificata. Ecco a seguire una spiegazione dettagliata riguardante il teorema di Bertrand.

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Principio di curvatura

Il teorema di Bertrand fu prima formulato da Sturm ed era relativo al principio di curvatura minore di Heinrich Hertz e Gauss; questo affermava che se una determinata serie di impulsi si applica in punti diversi di un sistema in movimento (sia olonomico che non olonomico), l'energia cinetica del movimento risultante è maggiore dell'energia cinetica che il sistema avrebbe acquisito sotto l'azione degli stessi impulsi ed eventuali vincoli aggiuntivi, dovuti alle reazioni di superfici fisse perfettamente lisce o perfettamente ruvide o da connessioni rigide tra le particelle del sistema.

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Orbite chiuse e lineari

Il teorema di Bertrand afferma, che le sole due leggi di forza centrali esprimibili come funzioni di r che danno origine a orbite chiuse indipendenti dalle condizioni iniziali sono lineari, inverse e quadrate. La prova originale di Bertrand può essere suddivisa in tre fasi: in primo luogo bisogna calcolare il limite dell'angolo apsidico quando l'orbita si avvicina a quella circolare e calcolare la dipendenza continua dell'angolo apsidale sulle orbite che stabiliscono l'indipendenza sull'energia, implicando pertanto che l'angolo sia uguale all'argomento limite sopra indicato.

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La legge del potenziale

La seconda fase del teorema dimostra che l'angolo apsidale
è indipendente dal momento del moto e di conseguenza, si arriva alla
legge del potenziale: U (r) = arα. La terza fase riguarda come individuare le potenzialità gravitazionali e quelle elastiche della legge della potenza. Bertrand risolve questo passo sostanzialmente prendendo alcuni limiti speciali nella
forma iniziale dell'angolo apsidale: affinché l'orbita rimanga chiusa quando l'energia e il
movimento angolare sono leggermente disturbati dalla circolarità, la quantità P
deve essere un numero razionale.

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