Scomposizione dei polinomi: 5 metodi da utilizzare

Tramite: O2O 28/10/2021
Difficoltà: media
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Introduzione

In gergo matematico, l'espressione "scomposizione di un polinomio" in fattori, anche definita "fattorizzazione di un polinomio", sta ad indicare che un determinato polinomio è il risultato di un prodotto di due o più fattori polinomiali di grado inferiore. A tal proposito va aggiunto che alcuni polinomi non possono essere definiti come il prodotto di polinomi di grado inferiore e che dunque, proprio in virtù di questa loro caratteristica, sono detti polinomi irriducibili. La scomposizione dei polinomi rappresenta dunque un fattore matematico che può risultare utile nelle operazioni con le frazioni algebriche. In questa guida vogliamo illustrarvi 5 metodi da utilizzare nella scomposizione dei polinomi. Vediamo di cosa si tratta.

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Il metodo del raccoglimento a fattore comune

Il primo metodo che assai di frequente si utilizza nella scomposizione di polinomi, è quello del raccoglimento a fattore di comune. Con questa espressione si indica la necessità di mettere in evidenza dei numeri, delle lettere o entrambi, che siano in grado di dividere tutti o alcuni degli elementi di cui si compone un qualsiasi polinomio. Se, come da dimostrazione, il fattore evidenziato è in grado di dividere tutti gli elementi, si determinerà un raccoglimento totale. Qualora invece il fattore risultasse comune solo ad alcuni di questi elementi, ci troveremmo difronte ad un raccoglimento di tipo parziale.

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Il metodo dei prodotti notevoli

Va poi aggiunto che alcuni polinomi rappresentano il risultato di specifiche moltiplicazioni o di elevamenti a potenza di binomi o altri polinomi. Ci troviamo nel campo di quelli che sono definiti in gergo matematico dei prodotti notevoli. Se si conoscono in anticipo tali prodotti, sarà sempre possibile, con l'applicazione a ritroso degli specifici passaggi, risalire con semplicità a tutti quei fattori che li compongono. Quando si utilizza la regola dei prodotti notevoli per la scomposizione di un polinomio, dovrà essere valutata con attenzione la differenza di segni. Questo perché le due espressioni non sono uguali, in quanto si differenziano l'una dall'altra per il segno, determinando quindi quella che, in gergo matematico, si definisce una forma scomposta non identica.

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Il metodo di Ruffini

Per la scomposizione di un polinomio è possibile utilizzare anche il Metodo di Ruffini, da utilizzare prevalentemente come una delle ultime risorse. A tal proposito occorrerà analizzare il polinomio secondo le potenze decrescenti della variabile X, per poi procedere seguendo caso per caso. In pratica, bisognerà calcolare il valore assunto dal polinomio sostituendo alla variabile ciascuno dei valori che via via si provano. Vi ricordiamo che, se il polinomio da scomporre si dovesse annullare, quest'ultimo dovrà sempre essere divisibile per (X ? a). Tale scomposizione, appunto, dovrà essere realizzata avvalendosi della regola di Ruffini.

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L'utilizzo del cubo di binomio

Per la scomposizione di un polinomio, ci possiamo anche avvalere della regola del cubo di binomio: Qualora infatti il polinomio fosse un quadrinomio e due monomi fossero due cubi perfetti, per la scomposizione basterà individuare le due basi b1 e b2, per poi passare a verificare che gli altri due termini siano rispettivamente uguali a: 3 x b1, 2 x b2 , 3 x b1 e x b2 2. Vi ricodiamo che questo tipo di scomposizione si potrà utilizzare e provare sempre, su un polinomio di qualunque grado e con qualsiasi numero di monomi. Data la sua applicazione diffusa, dunque, il cubo di binomio rappresenta forse oggi il metodo più utilizzato per la scomposizione dei polinomi.

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Il ricorso alla differenza di quadrati

Prima di optare per il metodo migliore per la scomposizione di un polinomio, occorrerà sempre valutare con attenzione quali sono le caratteristiche del polinomio stesso. Se quest'ultimo fosse un binomio ed i suoi due monomi rappresentassero due quadrati perfetti, allora potrebbe rendersi necessario individuare le due basi, scomponendo poi il binomio nel prodotto (somma basi) x la differenza delle basi. Quando si fa dunque riferimento alla differenza di quadrati, va ricordato che la base sempre positiva è quella col quadrato positivo, mentre quella che si contraddistingue per il segno alternato, rappresenta quella con il quadrato di tipo negativo.

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