Risolvere i limiti: alcuni suggerimenti

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questa guida troverete pratici suggerimenti che vi aiuteranno a risolvere problemi di calcolo coi limiti, nei casi piú semplici attraverso esempi essenziali. Troverete spiegate, in forma elementare, quelle regoline di base che, una volta entrate nelle vostre corde, vi semplificheranno la vita e vi consentiranno, con un pó di pratica, di risolvere qualsiasi limite di calcolo.

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Sostituzione diretta

Partiamo con alcune basilari regole, utili e valide per calcolare tutti i limiti. Il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti, cosí come il limite di una differenza è uguale alla differenza dei limiti e il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti cosí come il limite di un rapporto è uguale al rapporto dei limiti. Ció premesso, andiamo ad analizzare le tipologie piú semplici di limiti, con relative risoluzioni. Iniziamo dalle operazioni piú semplici: in presenza di frazioni di questa fatta, dovete semplicemente sostituire il valore cui tende la x.

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Razionalizzazione

Questa tipologia implica la presenza di limiti con radici quadrate. In tal caso ricorriamo alla tecnica algebrica della razionalizzazione. Ad esempio fate riferimento all'immagine tipo 3 a. Se sostituite ottenete 0/0 e non lo potete fattorizzare. Il trucco sta nel moltiplicare e dividere la frazione per un'espressione adeguata (ricordate che se moltiplicate e dividete un numero per se stesso ottenete lo stesso numero). Nel nostro caso userete l'identitá riportata nell'immagine tipo 3 b. Pertanto, ogni volta che vi trovate davanti ad una differenza o somma di 2 radici quadrate, potete applicare la suddetta identitá. I 2 fattori a sinistra sono detti complesso coniugato.

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I limiti

In questi limiti la variabile indipendente si avvicina all'infinito. Non possiamo risolvere l'infinito e non possiamo fattorizzare, quindi useremo la tecnica di base impiegata per risolvere quasi tutti i limiti all'infinito. Vi ricordate della proprietá delle frazioni secondo cui potete dividere sia il numeratore che il denominatore per lo stesso numero e la frazione rimane la stessa? Ecco il principio che applicheremo. Dividete questo limite per x al maggior esponente trovato nella funzione, nel nostro caso x³. Dividendo dapprima numeratore e denominatore per x³ eppoi dividendo ciascun termine per x³ otteniamo tipo 4 b. Cancellate quanto inutile (tipo 4 c). Ora, sapendo che qualsiasi numero diviso per un numero molto molto grande è uguale a (circa) zero, dato che x si avvicina all'infinito, tutti i numeri divisi per x a qualsiasi potenza si avvicineranno allo zero. Applicando ció otteniamo la soluzione mostrata nell'immagine tipo 4 d.

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