Proporzioni: calcolo del termine incognito

Le proporzioni sono delle relazioni matematiche composte da quattro grandezze. Più nello specifico, si può affermare che le proporzioni rappresentino una uguaglianza tra il rapporto di due grandezze e quello di altre due grandezze. A tal proposito, si immagini di conoscere tre termini di una determinata proporzione e di voler calcolare il quarto di questi termini. Tale elemento (che verrà indicato con la lettera x, verrà definito come "termine incognito". Ci serviremo dunque di alcuni esempi che possano essere esaustivi sull'argomento e descrivere in modo preciso i calcoli che occorre fare per definire il termine incognito in ogni tipo di proporzione. In questa guida vogliamo dunque illustrarvi il calcolo del termine incognito. Vediamo come fare.

• Testo di matematica delle Scuole Superiori
• Calcolatrice

Innanzitutto occorre sottolineare che le proporzioni sono un elemento fondamentale della matematica, i cui termini vanno quindi analizzati nel dettaglio. Cerchiamo pertanto di vedere i concetti chiave: essenzialmente, una proporzione non è altro che un uguaglianza tra due rapporti, tra due divisioni. Ad esempio, una proporzione molto semplice può essere la seguente: 6:3 = 12:6 (si legge 6 sta a 3 come 12 sta a 6). In questo caso si può notare che la divisione 6.3 determina lo stesso risultato della seconda divisione (12:6), ovvero 2.

Utilizziamo ancora l'esempio precedente: 6:3 = 12:6. Nelle proporzioni, i termini prendono dei nomi precisi a seconda della posizione che occupano, ad esempio il 6 della prima coppia e il 6 della seconda coppia in questo caso sarebbero gli estremi, mentre il 3 e il 12 in questo caso sarebbero i medi. Inoltre abbiamo anche gli antecedenti che in questo caso sono il 6 della prima coppia e il 12 e i conseguenti, che in questo caso sono il 3 e il 6 della seconda coppia. Andiamo ora, più del dettaglio, a vedere come calcolare nelle proporzioni, il termine incognito che ci serve.

Definiti questi pochi e semplici concetti, dovrebbe essere più facile calcolare il termine incognito. Supponiamo il caso di avere una proporzione incompleta, ovvero ci manca un termine che vogliamo calcolare. In questo caso potremmo avere una situazione del genere: 27:9 = 15: X. Il termine mancante è proprio un estremo, indicato con la "X". Cercando di operare per vie generali, notiamo come 27:9 ci dia 3 come risultato. Dunque occorrerà essenzialmente trovare un numero X che produca lo stesso risultato, facendo 15: X. In questo caso è abbastanza semplice e si nota subito che quel numero è 5. Infatti 15:5 ha come risultato 3. Se volessimo andare subito al dunque invece, potremmo fare direttamente il seguente calcolo: (9x15):27=5.
Essenzialmente i passaggi sono sempre gli stessi, possono cambiare solo i termini mancanti e i numeri, tuttavia il procedimento risulta sempre di facile applicazione.

In generale si può dunque dire che, per il calcolo dell'incognito in una proporzione, sembrano sempre valere due regole evidenti. Quindi, se in una proporzione generica A: B=C: D, il termine incognito dovesse essere un medio, ad esempio B, questo si calcola moltiplicando i due estremi e dividendo tutto per il medio noto. Se invece a mancare dovesse essere un estremo come nell'esempio numerico precedente, l'estremo mancante sarà uguale al prodotto dei due medi diviso l'estremo noto. E questo discorso può essere applicato ad ogni tipo di proporzione, dalla più semplice fino alla più complessa, sia in fatto di termini che di calcolo. Nel prossimo paragrafo ecco che vi presenteremo un esempio concreto per comprendere meglio quanto appena illustrato.

Per trovare il termine incognito, dunque, applichiamo quella che abbiamo definito la proprietà fondamentale delle proporzioni. Questa proprietà ci dice che il prodotto del medi è uguale a quello degli estremi. Considerato quindi che il prodotto dei medi deve essere equivalente a quello degli estremi, potremmo scrivere questo esempio: 3 x 24 = 18 x x e 72 = 18 x x. Noi siamo a conoscenza dunque che il prodotto dei due medi è uguale a 72 e che anche il prodotto degli estremi deve essere lo stesso. Ma sappiamo anche che uno dei due estremi è 18. Per conoscere l'altro estremo dunque, bisognerà solamente dividere 72 per 18. Quindi, nel nostro esempio, occorrerà procedere in questo modo: 72 : 18 = 4. Il termine incognito sarà dunque 4, quindi la proporzione dovrà essere così rappresentata: 18 : 3 = 24 : 4. Infatti, non a caso, 18/3 = 24/4 e
6 = 6. Una volta che si è trovato, dunque, il termine incognito, si potrà dire che la proporzione è stata risolta.

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