Progressioni aritmetiche e geometriche

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Negli insiemi, non ha alcuna importanza l'ordine con cui vengono chiamati o scritti gli elementi. Mentre se consideriamo un insieme ordinato di numeri, cioè un insieme i cui numeri sono disposti in un certo ordine, siamo in presenza di una successione di numeri. Tali numeri vengono detti termini della successione. Infatti, un insieme di numeri costituisce una successione. Questo significa che si dispone di un criterio per stabilire per ogni suo termine che lo segue immediatamente. Vediamo in questa guida, in due differenti sezioni, più nello specifico le due progressioni, ovvero quelle aritmetiche e quelle geometriche con dei relativi esempi.

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Occorrente

  • Testo di aritmetica
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Il criterio

Nelle Progressioni aritmetiche i numeri sono disposti secondo una certo criterio o un certo criterio Tanto che, vengono colti dall'osservazione dei primi termini della successione. Se ad esempio vi chiedessero di aggiungere altri quattro termini a destra della successione: 3, 5, 7, 9, 11,... Sicuramente non avreste alcun dubbio, scrivereste 13, 15, 17, 19. Ogni termine, tranne il primo, si ottiene aggiungendo 2 al numero precedente.

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I termini

Dunque, una successione di numeri di questo tipo si chiama progressione aritmetica. Procedendo verso destra, i termini della nostra progressione aumentano costantemente in ragione di 2, il numero 2 si chiama appunto ragione della progressione. Se osservi che la differenza tra ogni termine e il precedente è costante ed uguale a 2, potrai dare la seguente definizione generale: Si chiama progressione aritmetica una successione di numeri tali che la differenza tra ogni termine e il precedente sia costante.

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Progressione limitata

Consideriamo una progressione aritmetica limitata: a1, a2, a3,... A (n-1), a (n). È evidente che se consociamo il primo termine a1 e la ragione d, possiamo ottenere tutti i termini che vogliamo. Aggiungendo d ad a1 atteniamo a2, e così via. Ti domanderai però se non esiste la possibilità di determinare un termine qualsiasi senza dover necessariamente passare attraverso tutti i termini intermedi. Il teorema dice: "Il termine ennesimo di una progressione aritmetica si ottiene aggiungendo al primo termine il prodotto della ragione per il numero dei termini che lo precedono". Devi perciò dimostrare, che data una progressione di ragione d, la progressione in precedenza detta, risulta a (n) = a1 + (n - 1) d. Poiché la differenza tra gni termine, a partire dal secondo, e il precedente è uguale alla ragione d, potrai scrivere un uguaglianza. Sommando membro a membro le precedenti uguaglianze n - 1, dopo le opportune semplificazioni, otterrai a (n) - a1 = d + d + ... + d (dove le d saranno equivalenti a n - 1) => a (n) - a1 = (n - 1) d e infine a (n) = a1 + (n - 1) d.Progressioni geometriche.

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Consigli

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  • Eseguire gli esercizi e esercitarsi.
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