Operazioni tra matrici

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

In algebra lineare viene definita come "matrice" un'operazione che assume la forma di una tabella ordinata di elementi. Le operazioni di matrici sono largamente sfruttate nell'algebra lineare ed in tutte le scienze affini, specialmente grazie alla loro proprietà che consente loro di rappresentare in maniera utile e precisa (ma anche concisa) dei differenti oggetti matematici; ad esempio, dei valori che dipendono da due parametri distinti o anche dei sistemi lineare; quest'ultimo è uno degli strumenti centrali dell'analisi matematica. In questa utile e funzionale guida, cercherò di spiegarvi in maniera corretta e sintetica come eseguire tutte quelle che sono le operazioni possibili tra le matrici, fornendovi qualche esempio.  

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Innanzitutto è necessario sapere che quelle che sono tutte le righe orizzontali di una matrice sono denominate "righe", mentre tutte le righe verticali sono dette "colonne" della matrice. Generalmente parlando, una matrice M x N è una matrice composta da "m" righe ed "n" colonne, dove le lettere "m" ed "n" corrispondono a dei numeri interi positivi prefissati. Una generica matrice del tipo M x N è descritta come nella figura di questo passo. Vediamo ora le operazioni tra matrici.

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La prima operazione è il prodotto di una matrice "A", con "A" appartenente all'insieme K, per una componente scalare "g", appartenente anch'essa all'insieme K. Il prodotto di una matrice per una componente scalare è uguale, per definizione, al prodotto della componente scalare per ciascun elemento della matrice stessa.

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Passiamo alla somma di due matrici: se consideriamo la somma di due matrici identiche, ad esempio A ∈ K^m, n e A ∈ K^m, n, allora possiamo con certezza affermare che la matrice somma sia uguale a 2 x A ∈ K^m, n, ovvero il doppio della matrice di partenza. Se le due matrici sono invece differenti, presupponiamo ad esempio B, A ∈ K^m, n, allora la somma tra le due matrici A e B sarà una matrice singola dove tutti gli elementi di ogni riga si sommano agli elementi della riga della seconda matrice, e tutti gli elementi delle colonne di A si sommano (logicamente in ordine) a tutti gli elementi di B.

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Vediamo, ora, il prodotto tra due matrici. Il prodotto tra due matrici esiste ed è di due differenti due tipi: c'è il rapporto tra matrice riga (che è composta solo da una riga orizzontale) ed una matrice colonna (ovvero composta soltanto da una riga verticale) che è il più semplice di tutti i casi, e in questo caso si ottiene una matrice intera (colonna più riga). Nel caso più complesso abbiamo il prodotto tra due matrici A e B, entrambe appartenenti a K. Il prodotto di A ∈ K^m, n e di B ∈ K^n, p è una matrice prodotto detta C, che appartiene ad un insieme K^m, p (sparisce il valore comune tra le due matrici).

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Notate bene due cose: innanzitutto, almeno uno degli elementi della matrice (nel caso precedente abbiamo visto che era l'elemento "n") deve essere in comune, altrimenti non è possibile eseguire il prodotto tra le due matrici. In secondo luogo, ricordate sempre che non vale la proprietà commutativa nel prodotto di matrici: questo vale a dire che non è detto (può accadere, ma sono casi particolari) che il prodotto tra la matrice A e la matrice B, ovvero A x B, corrisponda in tutti i suoi elementi al prodotto di B per A, ovvero B x A; solitamente non vale questa proprietà, tranne in casi specifici (ad esempio se si tratta di un prodotto tra una matrice riga singola ed una matrice colonna singola, o viceversa).

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