Metodo delta di linearizzazione: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La dimostrazione del metodo delta di linearizzazione necessita di approfondite conoscenze di base. Prima di introdurre l’argomento, dovete avere chiari alcuni concetti fondamentali. Nel campo della statistica, si utilizza la linearizzazione per equiparare una funzione ad una retta. Tale dimostrazione è necessaria per facilitare la risoluzione di quesiti complessi e difficilmente risolvibili attraverso procedimento analitico. Con il metodo delta si evince l’approssimazione di una probabilità relativa ad una funzione, con valore continuo ed asintotico. Quindi, si ottiene una misura che si avvicina in modo indefinito ad una data quantità, senza mai coincidere. In questo tutorial, vi indicheremo come applicare correttamente il metodo delta di linearizzazione. Poiché l’argomento è particolarmente ostico, vi consigliamo di porre estrema attenzione ai procedimenti descritti.

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Occorrente

  • Un buon libro di statistica
  • Acquisizione delle nozioni di base
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CHIARIMENTI INIZIALI.
Ricordate che il metodo delta è applicabile sono se si conosce σ², cioè la varianza.
La varianza è una funzione che assegna una quantificazione di mutabilità di una variabile aleatoria. In particolare, indica quanto i valori al quadrato della variazione discordino con E (X). Vi sarete accorti che il concetto del metodo delta di linearizzazione è particolarmente macchinoso e necessita di una conoscenza approfondita. Di conseguenza, vi consigliamo di applicarvi in modo assiduo e costante, per meglio comprendere le dinamiche della dimostrazione.

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DIMOSTRAZIONE.
Una volta chiarito il concetto di metodo delta, potete passare alla dimostrazione. Sapete che f’(φ) è una funzione continua. Dovete considerare f (Xa) come una sequenza in serie di Taylor, ferma al primo livello. Incentrate il tutto su φ:
f (Xa) = f (φ) + f’(φ˜) (Xa – φ).
Naturalmente, φ˜ si trova in qualche punto interposto tra φ e Xa. Potete dedurre che: f’(φ˜) → f’(φ).
A questo punto, non vi rimane che basarvi sul teorema di Taylor e moltiplicare per √a, valore costante positivo.
√a [f (Xa) – f (φ)] ≈ f’ (φ˜) √a (Xa –φ).
Come delucidato nel precedente passo, sapete che:
√a (Xa – φ) → N (0, σ²).
Di conseguenza:
√a [f (Xa) – f (φ)] → N {0, σ² [f’(φ)]² }.
Ed ecco effettuata la dimostrazione del metodo delta di linearizzazione.

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TEORIA.
Per meglio comprendere il concetto, considerate {[Xa]a} come una sequenza di variabili causali, tali da soddisfare la seguente funzione:
√a (Xa – φ) → N (0, σ²).
Il simbolo → indica la convergente in legge, mentre φ e σ² sono valori costanti reali. Avete una funzione f e sapete che f’ (φ) è diverso da zero. Di conseguenza, otterrete che:
√a [f (Xa) – f (φ)]→ N {0, σ² [f’ (φ)] ²}.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per applicare il metodo delta di linearizzazione, ponete estrema attenzione nei calcoli. Un errore nella dimostrazione andrebbe a compromettere il risultato finale.
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