Metodi di derivazione dei polinomi

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Per polinomio si intende la somma algebrica di monomi, questi possono essere simili tra loro, ovvero avere uguale parte letterale oppure no (vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio).
Nel secondo caso la derivata del polinomio è detta parziale perché fissata una variabile deriveremo il polinomio solo in funzione di quella data variabile, trattando le altre presenti quali coefficienti. Non è questo però il caso che andremo ad analizzare, ci occuperemo di derivate totali e considereremo solo polinomi simili. Data una funzione y=f (x) definita in un intervallo [a, b], si chiama derivata della funzione nel punto c interno all'intervallo il limite, se esiste ed è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale di f relativo a c (vedi http://www.edutecnica.it/matematica/derivate/derivate.htm). Dove h è proprio l'intervallo considerato. Fatta la dovuta premessa andiamo ad analizzare alcuni dei metodi più comuni per la derivazione dei polinomi.

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Sfrutta la definizione di derivata

Il metodo più basilare per eseguire la derivata di una funzione è quello di ricorrere proprio alla sua definizione. Allora se data la funzione f (x) vogliamo derivarla in un generico punto c, dobbiamo prima costruire il suo rapporto incrementale e poi risolvere il limite per h che tende a 0 di questo rapporto (che indicheremo con ΔX/ΔY).
ΔX/ΔY = [f (c+h)-f (c)]/h
f'(c)= lim h→0 ΔX/ΔY
Ma passiamo subito ad un esempio, vogliamo derivare f (x)= x^2-1 nel punto x generico.
f (x+h)=x^2+h^2+ 2xh -1
ΔX/ΔY=(h^2+2xh)/h=h+2x
f'(c)= lim h→0 ΔX/ΔY= 2x
Abbiamo così calcolato la derivata cercata.

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Fai la somma di derivate fondamentali

Il modo più immediato per calcolare la derivata di una funzione è quella di considerare la derivata stessa come somma di derivate fondamentali. Ad esempio vogliamo derivare con questo metodo la funzione studiata in precedenza
f (x)= x^2-1
il primo termine da derivare è x^2, che è la derivata della potenza di una funzione
D[f (x)]^n=n[f (x)]^(n-1)
quindi D (x^2)=2x
il secondo termine 1, è invece una costante, quindi la sua derivata è nulla
Infine f'(x)= 2x.

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Esegui prima le operazioni

In alcuni casi la funzione potrebbe presentarsi come prodotto di due o più polinomi. In questo caso è senz'altro meno laborioso eseguire prima le operazioni indicate, in modo da evitare di dover calcolare la derivata di un prodotto di funzioni.
Ad esempio possiamo trovare f (x)=(2x+1)(x-1)
Eseguiremo quindi prima le operazioni
f (x)=2x^2-2x+x-1
e solo adesso deriveremo
f'(x)= 4x-2+1= 4x-1.

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Svolgi la derivata del prodotto

In alcuni casi siamo però obbligati ad eseguire la derivata di un prodotto. Questo accade quando ci troviamo davanti una funzione del tipo f (x)*g (x).
In questo caso allora
D[f (x)*g (x)]= f'(x)*g (x)+f (x)*g'(x)
Ad esempio y=(senx+1)*x
Svolgendo le operazioni indicate non riusciremo ad isolare senx e x, infatti:
y=senx*x+x
y'=cosx*x+senx +1
Vista la semplicità della funzione avremmo potuto pure evitare di svolgere le operazioni ottenendo sempre la stessa soluzione... Provare per credere!

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Trasforma la radice

Un altro caso che ci si può presentare è quello si avere un polinomio sotto radice n-esima, in questo caso è utile riscrivere la radice dalla forma n rad (x^p) alla forma x^(p/n).
Consideriamo ad esempio questo caso:
f (x)= sqrt (x+1) dove sqrt sta a indicare la radice quadrata.
Possiamo riscriverla come
f (x)= (x+1)^1/2 in quanto p=1 e n=2.
Adesso possiamo procedere, come spiegato prima, a derivare la potenza di una funzione
f'(x)= 1/2*(x+1)^(-1/2)=1/2*sqrt[1/(x+1)]


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