Meccanica dei fluidi: le equazioni di Hugoniot

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Lo studio più importante nell'ambito della meccanica dei flussi è quello relativo agli efflussi dei condotti all'interno delle turbomacchine. Per fare ciò ci si serve delle equazioni di Hugoniot che vengono realizzate in base a tre ipotesi, ovvero quando il flusso è monodimensionale, quando è stazionario e quando compie la trasformazione adiabatica. Esse legano i parametri fisici dell'efflusso e del fluido (sezione, pressione, temperatura, densità) con il numero adimensionale di Mach (per Ma=1 si ha la velocità del suono). Tali equazioni differenziali permettono inoltre, conoscendo la sezione del condotto e le condizioni di sub- o super- sonicità all'ingresso, di determinare la velocità del fluido. Ecco una guida di meccanica dei fluidi: le equazioni di Hugoniot.

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Occorrente

  • Carta e penna
  • Libro di testo
  • Calcolatrice
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Prima equazione

La prima equazione di Hugoniot viene ricavata a partire dall'equazione dell'energia in forma meccanica relativa ad una trasformazione adiabatica e anergica che avviene lungo un condotto ad asse orizzontale. Essa è descritta matematicamente dalla relazione dA/A = (Ma^2 -1)*dc/c con A rappresentante la sezione del condotto e e c la velocità dell'efflusso. Ciò significa che in regime subsonico (Ma<1) ad un aumento della sezione corrisponde una diminuzione della velocità e viceversa in condizioni di efflusso supersonico (Ma>1). Tale relazione è valida per ogni efflusso isoentropico di un fluido comprimibile.

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Seconda equazione

Partendo dalla prima equazione viene facile ricavare anche la seconda equazione di Hugoniot tenendo conto anche di un'altra equazione, cioè quella della continuità della portata. Usando il linguaggio prettamente matematico essa può essere scritta nel seguente modo: come dA/A =(1/k)*(1/Ma^2 -1)*dp/p dove A sta ad indicare la sezione, k dipende dal fluido ed invece la p sta per la pressione. La formula così descritta in materia di fisica significa che se ci si trova in regime subsonico all'aumentare della sezione aumenta la pressione, mentre la situazione è esattamente inversa se ci si trova in condizioni supersoniche.

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Terza equazione

In ultimo per poter ricavare la terza equazione di Hugoniot, ma prma di poter fare ciò è necessario iniziare da un'altra equazione, ovvero quella dell'energia in forma termica. Si ricaverà che dT/T = (1-k)*(Ma^2)*dc/c, dove la T serve per designare la temperatura assoluta del fluido, la stessa inoltre com'è ben not si esprime in K (Kelvin). Con l'equazione sopra descritta è possibile evidenziare che esiste una relazione tra la variazione di temperatura del fluido e la velocità dell’efflusso. A tal punto entra in campo una delle equazioni di Hugoniot che attraverso lo studio della meccanica dei fluidi è in grado di spiegare anche gli efflussi, in particolar modo all'interno di condotti convergenti-divergenti. Questi ultimi sono denominati anche sotto il nome di ugelli di De Laval.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Provate a svolgere tutti i passaggi per ricavare le formule
  • Attenzionate bene le differenze tra regime subsonico e supersonico

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