Matematica: regole fondamentali delle derivate

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Introduzione

Quando in matematica si parla di algebra di derivate si fa riferimento ad una base, di natura sia teorica che pratica, attraverso la quale è possibile calcolare la derivata di qualsiasi funzione; chiaramente, per poter procedere, è fondamentale conoscere le derivate delle funzioni elementari. L'algebra delle derivate è rappresentata da alcuni facili regole attraverso le quali viene indicato il comportamento della derivazione in relazione alle operazioni algebriche più semplici. Nella presente guida, a proposito di derivate e di operazioni algebriche, verranno presentate le regole fondamentali delle derivate.

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Innanzitutto, è opportuno indicare che le regole fondamentali sono relative al prodotto di una funzione per una costante, alla somma (e alla differenza) di funzioni e al prodotto (e alla divisione) di funzioni. La prima regola fondamentale indica che la derivata del prodotto di una costante per una funzione ha come risultato il prodotto della costante per la derivata della funzione. In pratica, quando ci si trova ad avere un coefficiente che moltiplica una funzione, per derivare occorre riscrivere il coefficiente, derivando unicamente la funzione. La formula è la seguente: d/dx [c f (x)] = c d/dx f (x).

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La regola, relativa al rapporto di due funzioni, sancisce che la derivata del rapporto è pari al rapporto tra la derivata del numeratore per il denominatore non derivato meno il numeratore per la derivata del denominatore; quanto ottenuto deve essere diviso per il denominatore elevato al quadrato. Quindi: d/dx (f (x)/g (x)) = [d/dx f (x)] g (x) - f (x) [d/dx g (x)]. Il risultato, in questo caso, andrà diviso per il quadrato di g (x).

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La regola stabilisce, invece, che la derivata di una somma di una funzione è pari alla somma delle singole derivate (è valida anche per le sottrazioni). In questo caso, se si ha la necessità di derivare una somma di funzioni, è sufficiente derivare i singoli addendi; questo vale anche nel caso di somma di più di due funzioni. In questo caso: d/dx [f (x) + g (x)] = d/dx f (x) + d/dx g (x). La regola fondamentale delle derivate stabilisce che la derivata del prodotto di due funzioni ha per risultato la somma tra il prodotto della prima funzione oggetto di derivazione per la seconda non derivata, e la prima funzione (questa volta non derivata) per la seconda derivata. Anche in questo caso la regola ha valore nel caso per il prodotto di 3 o più funzioni. La formula da utilizzare è: d/dx [f (x) g (x)] = [d/dx f (x) ] g (x) + f (x) [d/dx g (x)].

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