Matematica: la legge di De Morgan

La matematica, si sa, è la materia più temuta dagli studenti. La difficoltà della materia unita alla poca applicazione al ragionamento rappresentano due aspetti che fanno allontanare gli studenti da questa disciplina scolastica. Ciò nonostante, il fascino della matematica è innegabile, sopratutto se tale materia viene ben spiegata e capita. Per il resto, possono risultare decisivi un po' di impegno e tanta esercitazione. Questa guida si propone di spiegarvi la legge di De Morgan. Questa prende il nome dal matematico Augustus De Morgan, vissuto nell' 800. La legge trova la sua applicazione nell'analisi dei circuiti logici. In particolare, le leggi di De Morgan sono due e sono composte da formule molto semplici, le quali mettono in relazione tre operazioni degli insiemi: unione, intersezione e complementare. In questa guida vogliamo dunque illustrarvi nel dettaglio la legge di De Morgan e tutti i suoi ambiti di applicazione. Vediamo di cosa si tratta.

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La prima legge di De Morgan afferma che il complementare dell'intersezione di due insiemi è uguale all'unione del complementare del primo insieme con il complementare del secondo insieme. Per dimostrare questa legge, occorre disegnare due diagrammi, A e B (ed il loro insieme universo). Rappresentiamo l'intersezione di A e B, magari evidenziandola con un colore. Ora, con colori diversi, evidenziamo rispettivamente: il complementare dell'intersezione A e B; il complementare di A; il complementare di B. Possiamo notare quindi che l'unione del complementare A con il complementare B è l'insieme degli elementi che appartengono al complementare A ed al complementare B. Ecco dimostrata la prima legge di De Morgan.

La seconda legge di De Morgan afferma che il complementare dell'unione di due insiemi è uguale all'intersezione del complementare del primo insieme col complementare del secondo. Per dimostrarla, occorre disegnare i soliti due diagrammi A e B (ed il loro insieme universo). Ora rappresentiamo l'unione di A e B con un colore. Con colori diversi, invece, rappresentiamo rispettivamente: il complementare dell'unione; il complementare di A; il complementare di B. Possiamo notare quindi che l'intersezione del complementare di A col complementare di B, è l'insieme degli elementi che appartengono sia al complementare di A che al complementare di B. Ecco dimostrata la seconda legge di De Morgan.

In pratica si può affermare che i due teoremi di De Morgan descrivono il comportamento dei connettivi logici (che in gergo si definiscono AND e OR), nel momento in cui una negazione viene tolta da (o inserita) all'interno di una formula contenuta fra parentesi. Se si raccoglie la negazione posta fuori parentesi, oppure la si distribuisce all'interno dei termini in parentesi, il connettivo si trasforma nel suo opposto. Infine va ricordato che tali teoremi si possono dimostrare sia da un punto di vista algebrico, sia con l'ausilio della tabella della verità, essendo i casi da provare esprimibili con un numero finito.

Si raccomanda di utilizzare la massima precisione nel disegnare i grafici per evitare di confondersi. È molto utile utilizzare colori diversi per indicare i vari passaggi, facendo attenzione a creare una piccola legenda, all'interno della quale accostare il diverso colore alla funzione che rappresenta. Sui libri di testo si troveranno facili esercizi per mettere in pratica queste due leggi. La cosa importante è quella di memorizzare bene i passaggi prima descritti e di esercitarsi nell'esposizione di tutti passaggi principali necessari per la spiegazione della legge di De Morgan.

• Le leggi di De Morgan
• Le due leggi di De Morgan