Matematica: la legge di De Morgan

La matematica, si sa, è la materia più temuta dagli studenti. La difficoltà della materia unita alla poca applicazione al ragionamento sono un mix micidiale che fa allontanare gli studenti dalla matematica. Ciò nonostante il fascino matematico è innegabile, sopratutto se viene ben spiegato e capito. Per il resto basta un po' di impegno ed esercitazione. Questa guida si propone oggi di spiegarvi la legge di De Morgan. Questa prende il nome dal matematico Augustus De Morgan, vissuto nell' 800 e in una sua applicazione più complessa viene applicata per l'analisi dei circuiti logici. In particolare le leggi di De Morgan sono due e comprendono delle formulette molto semplici che mettono in relazione tre operazioni degli insiemi: unione, intersezione e complementare.

• Quaderno; Penna e Matita;

La seconda legge di De Morgan afferma che il complementare dell'unione di due insiemi è uguale all'intersezione del complementare del primo insieme col complementare del secondo. Per dimostrarlo occorre disegnare i soliti due diagrammi A e B (ed il loro insieme universo). Ora rappresentiamo l'unione di A e B con un colore. Con colori diversi invece rappresentiamo rispettivamente: il complementare dell'unione; il complementare di A; il complementare di B. Possiamo notare quindi che l'intersezione del complementare di A col complementare di B è l'insieme degli elementi che appartengono sia al complementare di A che al complementare di B. Ecco dimostrata la seconda legge di De Morgan.

La prima legge di De Morgan afferma che il complementare dell'intersezione di due insiemi è uguale all'unione del complementare del primo insieme con il complementare del secondo insieme. Per dimostrare questa legge occorre disegnare due diagrammi, A e B (ed il loro insieme universo). Rappresentiamo l'intersezione di A e B, magari evidenziandola con un colore. Ora, con colori diversi, evidenziamo rispettivamente: il complementare dell'intersezione A e B; il complementare di A; il complementare di B. Possiamo notare quindi che l'unione del complementare A con il complementare B è l'insieme degli elementi che appartengono al complementare A ed al complementare B. Ecco dimostrata la prima legge di De Morgan.

Si raccomanda di utilizzare la massima precisione nel disegnare i grafici per evitare di confondersi. È molto utile utilizzare colori diversi per indicare i vari passaggi, facendo attenzione a creare una piccola legenda in cui accostare il diverso colore alla funzione che rappresenta. Sui libri di testo si troveranno facili esercizi per mettere in pratica queste due leggi. La cosa importante è quella di memorizzare bene i passaggi prima descritti.

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