Matematica: la funzione iperbolica

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Introduzione

Le funzioni iperboliche, in matematica, sono particolari funzioni con caratteristiche simili alle funzioni trigonometriche; proprio per questo ne riprendono i nomi: seno e coseno iperbolico, tangente e cotangente iperbolica. Queste funzioni sono legate alla funzione dell'iperbole da cui si possono facilmente ricavare. Passiamo ora ad un quadro generale di ciascuna funzione.

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Grafico

Partiamo dal grafico dell'iperbole equilatera centrata nell'origine degli assi cartesiani, la cui equazione è x^2 - y^2 = 1 e che incontra l'asse delle ascisse nei punti x = 1 e x = -1. Poiché la funzione è simmetrica rispetto all'origine e all'asse y, per semplicità consideriamo solo la parte della funzione che si trova nel primo quadrante e che ha equazione y = +√(x^2 - 1), per x≥1. Preso un punto P sulla parte di funzione considerata, come si vede nella figura, si chiama seno iperbolico (sinh) l'ordinata del punto P, mentre il coseno iperbolico (cosh) è la sua ascissa.

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Tangente e cotangente

Trovata l'espressione esplicita, si possono trovare anche i valori della tangente (tanh) e cotangente (coth) iperboliche. Infatti, proprio come in trigonometria, la tangente iperbolica è il rapporto del seno per il coseno iperbolico: tanh x = senh x / cosh x = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x). Secondo lo stesso ragionamento, si ottiene che coth x = 1 / tanh x =(e^x + e^-x) / (e^x - e^-x). Le similitudini tra le funzioni goniometriche e quelle iperboliche non finiscono qui. Infatti, vale l'identità: (sinh x)^2 - (cosh x)^2 = 1, simile a quella che lega il quadrato del seno e del coseno: (sinx)^2 + (cos x)^2 = 1. Valgono anche in questo caso le formule di addizione, ad esempio: sinh (a + b) = sinh (a) cosh (b) + cosh (a) sinh (b), cosh (a+b) = cosh (a) cosh (b) - sinh (a) sinh (b). Infine, ritroviamo le formule di bisezione già studiate in trigonometria: sinh (x/2) = √((cosh (x) -1)/2), cosh (x/2) = √((1 + cosh (x)) /2).

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Formula esplicita

Dopo aver determinato graficamente il significato si sinh e cosh, se ne può determinare la formula esplicita, che si lega alla funzione esponenziale. Infatti, spostando il punto P sul grafico dell'iperbole, variano i valori delle sue coordinate e quindi anche di sinh e cosh. L'andamento di tali valori si esprime attraverso una funzione di componenti esponenziali: sinh (x) = (e^x - e^-x) /2, mentre cosh (x) = (e^x + e^-x) /2. Queste uguaglianze si possono ricavare facilmente considerando l'area "A" evidenziata in giallo nella figura. I passaggi della dimostrazione sono spiegati nel dettaglio in questo approfondimento del sito wikipedia. Nella figura si osserva contemporaneamente l'andamento delle funzioni y = sinh (x), y = cosh (x), y = tanh (x).

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