Matematica: l'algebra dei vettori

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Difficoltà: media
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Introduzione

L'algebra dei vettori è un argomento di matemativa, che si occupa dell'applicazione del calcolo vettoriale che varia dalla fisica alla matematica. In questa guida vedremo l'algebra dei vettori, il modulo della somma di due vettori, il vettore opposto e la differenza di due vettori. Vediamo come procedere.

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Occorrente

  • Foglio protocollo, pazienza.
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È sempre possibile rappresentare due vettori (a) e (b) mediante due segmenti orientati (a)=AB, (b)=BC in modo che il secondo estremo del primo segmento coincide con il primo estremo del secondo. Infatti, si dice somma di due vettori (a)= AB e (b)=BC e si indica con (a)+(b) il vettore (c)=AC. Per determinare la somma di due vettori si può anche ricorrere alla "regola del parallelogramma": si rappresentano i due vettori mediante due segmenti orientati aventi il primo estremo in uno stesso punto A, come AB e AD e si completa quindi il parallelogramma ABCD di cui tali segmenti sono due lati consecutivi. Per determinare la componenti cartesiani della loro somma si esegue questo calcolo: (Ax; Ay) + (Bx; By)= (Ax + Bx; Ay + By). Inoltre, le componenti cartesiane della somma di due vettori sono la somma delle componenti corrispondenti dei due vettori dati.

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Adesso trattiamo il modulo della somma di due vettori. Siano (a) = OA e (b) = OB due vettori che formano un angolo e sia (a) + (b) = OC la loro somma. Possiamo calcolare il modulo di (a)+ (b), ossia la misura della lunghezza del segmento OC, applicando il teorema del coseno al triangolo OBC. Tenendo presente che le misure delle lunghezze di OB e OC sono rispettivamente (b) e (a) e che l'angolo è 180° perché i due angolo sono coniugati interni formati dalle parallele OA e BC tagliate dalla trasversale OB.

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Come penultimo argomento è il vettore opposto. Si dice opposto di un vettore (v), e si indica con (-v), quel vettore che ha la stessa direzione e lo stesso modulo del vettore (v) e verso opposto di quello di (v). Si ha perciò (-AB)= BA. In componenti cartesiane l'opposto del vettore (v) = (Vx; Vy) è: (-Vx; Vy)=(-Vx;-Vy). Infatti le componenti cartesiane del vettore opposto di un vettore sono gli opposti delle componenti corrispondenti del vettore dato.

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Per ultimo argomento trattiamo la differenza di due vettori: la differenza di due vettori è la somma del primo con l'opposto del secondo. La differenza di due vettori (a) (b) si indica con (a-b) e quindi per definizione è: (a-b) = (a) + (-b). Per calcolare il vettore differenza di due vettori (a) e (b) basta determinare applicando la regola del parallelogramma ai vettori (a) e (-b).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Leggere tutto attentamente e capire bene i passaggi.

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