Matematica: l'algebra dei vettori

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

I vettori sono una parte indispensabile della matematica che deve la sua grande fortuna alle applicazioni in fisica. I calcoli con i vettori differiscono in alcuni aspetti rispetto a quelli con gli scalari ed è bene comprenderli sin da subito. L'impiego dei vettori, strettamente legato all'algebra delle matrici, permette di velocizzare i calcoli e di trattare oggetti complessi in maniera semplificata. Con questa guida vi spiegherò le principali proprietà dell'algebra applicata ai vettori.

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Rappresentazione dei vettori

Definito un punto O detto origine, un vettore non è altro che il segmento che unisce l'origine ad un altro punto nello spazio. Fin qua nulla di complesso. Definiamo una n-upla di vettori che godano di alcune proprietà. Tutti i vettori dell'n-upla hanno un punto in comune ed esso è O. Tutti i vettori dell'n-upla sono lunghi 1. Tutti i vettori dell'n-upla sono ortogonali fra loro, ossia ognuno di essi forma angoli di 90 gradi con gli altri. Questa n-upla si chiama base. Se ci troviamo su un piano, l'n-upla si riduce a coppia, e chiamiamo questi vettori "versori". Allungandoli all'infinito, sia positivo che negativo, si ottengono gli assi X e Y. Ogni punto del piano definito da X e Y è al punta di un vettore, cioè l'estremo di un segmento che va dall'origine al punto. Il segmento è quindi un vettore. Va da se che le coordinate x e y della punta del vettore possono essere usate per definirlo, e si dicono proiezioni lungo gli assi coordinati.

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Somma fra vettori

Adesso trattiamo il modulo della somma di due vettori. Siano (a) = OA e (b) = OB due vettori che formano un angolo qualunque e sia (a) + (b) = OC la loro somma. Per definire il vettore (c) che unisce origine e punta di OC si usa una regola detta "del parallelogramma". Si prende la punta di OA e la si chiama "nuova origine" e di trasla rigidamente il vettore b lungo OA. Troveremo un nuovo vettore (b') identico a (b) ma con un'origine differente. Se si unisce la punta di (b') a O, tale segmento che chiamiamo (c) è u nuovo vettore che è la somma di (a) e (b). La sua lunghezza si calcola con il teorema di Pitagora.

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Differenza fra vettori

Un calcolo analogo si fa per la differenza fra vettori. In questo caso per calcolare (a)-(b)=(c), si inizia disegnando un vettore lungo quanto (b), giacente sulla stesa retta, ma di direzione opposta. Tale vettore è -(b). Applicando poi la regola del parallelogramma a questo nuovo vettore si calcola la differenza come richiesto.

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Prodotto vettore-scalare

Se si ha un vettore (a) di lunghezza arbitraria, e si rappresenta un secondo vettore (b) che giace sulla stessa retta di (a) ed ha in comune il punto di origine, si dice che (b) è un multiplo di (a). Il rapporto fra le lunghezze di (a) e di (b) sarà un numero c. In parole povere, moltiplicando (a) per questo numero c si è ottenuto (b). Questa operazione si chiama prodotto di uno scalare per un vettore.

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Prodotto scalare fra vettori

Siano (a) e (b) due vettori applicati sullo stesso punto e che formano un angolo T. Il prodotto scalare fra (a) e (b) è un nuovo vettore di valore c=|(a)|*|(b)|*cos(T) dove |*| è il modulo, ossia la lunghezza. Il prodotto scalare fra vettori gode di tutte le proprietà dei prodotti già note dall'algebra dei numeri semplici ossia: distributiva rispetto alla somma, commutativa, e di simmetria. La proprietà di simmetria può sembrare banale, ma ci sono condizioni dell'algebra avanzata fra vettori (che esulano gli scopi di questa guida) in cui tale proprietà non è necessariamente verificata.

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