Matematica: il criterio di Leibniz

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Difficoltà: difficile
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Introduzione

In questa guida verranno dati utili consigli su come capire bene ed apprendere al meglio uno dei principi della matematica più studiati: il criterio di Leibniz. Esso si tratta di un argomento di calcolo aritmetico basato su una successione di numeri di segni alterni. Dovete sapere che esso prende il nome dallo studioso e filosofo tedesco citato prima. Il suo enunciato e la sua spiegazione sono collegati in maniera diretta con altri argomenti di algebra come per esempio i limiti, le serie in successione e le funzioni. Il principio di base fa riferimento ad una specie di criterio di convergenza riguardante soltanto alcune particolari e definite successioni. È complicato da comprendere inizialmente, ma attraverso questo articolo potrete avere maggiori informazioni a riguardo. Prendete carta e penna e segnatevi le cose che vi possono interessare.

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Occorrente

  • Libro di matematica
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Prima di tutto chiariamo cosa si intende per convergenza: è la proprietà di una successione la quale presenta un limite finito al tendere dell' indice verso l' infinito. A questo punto, tale successione di cui si parla, deve essere monotona, non crescente e infinitesima. E’ bene ricordare che una espressione algebrica è monotona quando per ogni "x1" minore o uguale a "x2" anche f (x1) è minore o uguale a f (x2). L’aggettivo non crescente significa che per ogni termine numerico, l’assunto "X (i +1)" deve essere inferiore, o al massimo uguale, e non superiore a quel dato valore stesso.

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Il criterio di cui stiamo parlando afferma che, considerando una serie numerica convergente data dalla successione di cifre decrescenti di segno alterno, allora ne seguirà che le due serie nate dalla scomposizione della serie iniziale, risulteranno identiche tra di loro e sommandole si otterrà risultato uguale a zero. Inoltre una delle serie ha pedice pari e l'altra lo ha dispari. Se si decide di apprendere una funzione allo scopo di dare conferma a tale teoria, si deve inizialmente controllare se questa rispetta o meno i due punti seguenti: la successione deve essere infinitesima, cioè il limite di An per "n" che tende a infinito esiste ed è uguale a zero, ed è necessario che sia decrescente. Deciso che questi due requisiti sono rispettati, la nostra funzione è convergente.

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Infine, sarebbe utile passare a qualche esempio concreto. I valori A0, A1, A2 e A3 costituiscono una successione di numeri reali. La serie, ottenuta tramite la sommatoria, è costituita da numeri di "k" che vanno da zero a infinito. Tale serie è convergente. Detto questo, si può concludere che il limite di "An" è pari a zero stabilendo che l'incognita "x" tende al valore di infinito. Ricordate che ogni "n" è appartenente all'insieme dei numeri naturali.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ripassare le regole di algebra

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