Matematica: gli insiemi numerici

In questo tutorial, che tratta di un argomento basilare in matematica, vedremo cosa sono gli "insieme numerici". Questi insiemi vengono classificati in 5 gruppi, contrassegnati da altrettante lettere: N, Z, Q, R e C. Faremo gli esempi necessari al fine di dissipare qualsiasi dubbio ma è bene precisare che, in matematica, non conta soltanto l'aspetto nozionistico, riveste una grande importanza l'approccio personale quindi è bene spogliarsi di qualsiasi pregiudizio prima di iniziare.

L'insieme N è il primo che analizzeremo. "N" sta per numeri naturali, tutti quei numeri interi che sono dotati di segno positivo. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... Ecc ecc sono tutti numeri naturali. Tutti i numeri interi positivi che possiamo ottenere sommando, dividendo, sottraendo o moltiplicando questi numeri, sono naturali.

Somma:

a+b=c

sebbene sia a che b che c siano numeri naturali, verranno chiamati in modo differente. A e b sono detti "addendi" mentre c è la "somma".

Moltiplicazione.

a x b = d

sono tutti numeri naturali ma, questa volta, a e b vengono chiamati "fattori" mentre c è il "prodotto".

Nel caso di sottrazione e divisione, invece, non sarà sempre possibile procedere.

Provate a fare 5 : 0 = x oppure 5- 7 = x

cosa succede? Non possiamo dividere per zero e 5 - 7 fa certamente -2. Ma -2 è un numero con segno negativo mentre i numeri naturali richiedono il segno positivo.
Ciò vuol dire che, seguendo la regola generale a - b = c, a deve essere necessariamente più grande di b.

I numeri interi, contrassegnati dalla lettera "Z", sono tutti quei numeri che possono avere sia segno positivo che segno negativo. Per questa ragione i numeri interi includono i naturali.
....-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5... Saranno tutti numeri interi.

Somma.

Si sommano con molta semplicità. 4+5=9 mentre 4-5= -1

Moltiplicazione.

La regola vuole che: "più per più, fa più. Più per meno fa meno. Meno per meno fa più" e perciò, facendo qualche esempio

4 x 5 = 20

4 x -5 = -20

-4 x -5= 20

Sottrazione.

Inverso dell'addizione. Equivale a sommare l'opposto.

5 - (-3) = 8 poiché è come se fosse 5 + 3 (3 con segno positivo è l'opposto di -3)

-5 - (-3) = -5 + 3= 2

Divisione.

Non desta alcuna difficoltà nel caso di numeri positivi. Se invece sono presenti i negativi, segue due regole:

a: (-b) = - (a: b)

Esempio 10: (-5) = - (10 : 5)

(-a): (-b) = a: b

Esempio (-20): (-10) = 20 : 10.

I numeri Q, o razionali, sono quei numeri che si ottengono dal rapporto tra due numeri interni. Il secondo numero in questo rapporto deve essere diverso dallo zero. Vengono espressi da frazioni del tipo a/b nelle quali "a" è noto col termine di "numeratore" mentre "b" con quello di "denominatore".

Tra due frazioni, quella più grande è quella con il denominatore più piccolo. Controsenso? Certo che no. Facciamo un esempio spicciolo per comprendere meglio. Avete 2 torte, identiche, una divisa in 5 parti ed una divisa in 10. Prendiamo due parti da entrambe le torte: 2/5 e 2/10. La quantità di torta presa dalla seconda è ovviamente inferiore, poiché le fettine saranno più piccole.


Somma.
Segue la regola: (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/bd

Moltiplicazione.
Segue la regola: (a/b) x (c/d) = ac/bd

Sottrazione.
Segue la regola: (a/b) - (c/d) = (ad) - (bc)/bd

Divisione.
Per poter dividere due frazioni, dobbiamo sempre moltiplicare la prima per l'inverso della seconda. Esempio: 15/4 : 6/8 diventerà 15/4 x 8/6 e andrà quindi seguita la regola della moltiplicazione già mostrata.

I numeri reali, il cui gruppo coincide alla lettera maiuscola "R", contiene sia i numeri irrazionali che anche quelli razionali. Possono avere sia il segno negativo che quello positivo. Possono essere interi ma possono essere anche descritti da uno sviluppo decimale. 24, 2/5, -7/6 sono tutti numeri reali. Questo gruppo incorpora infatti quello dei numeri interi, dei razionali, degli irrazionali e dei trascendenti, il cui esempio più famoso è il pi greco.
Questi numeri consentono il calcolo infinitesimale ma possono essere approssimati con tranquillità. Un esempio pratico? Il pi greco è conosciuto come il "semplice" 3,14 ma la sequenza numerica dopo la virgola è, in realtà, ben più lunga.

I numeri complessi, che appartengono al gruppo C, sono quelli che maggiormente destano difficoltà, poiché sono formati da una componente reale e da una "immaginaria". Quest'ultima viene contrassegnata dalla lettera "i" minuscola.
Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione dei numeri complessi seguono le normali regole di base ma si deve tenere in conto che i = √-1.

Esempio:

(3 + 5i) + (16 + 2i) = 19 + 7i

Geometricamente, questi punti non vengono rappresentati da una retta ma lo sono all'interno di un piano.

• http://progettomatematica.dm.unibo.it/insieminumerici/numeri.htm