Matematica: gli insiemi numerici

Tramite: O2O 27/07/2018
Difficoltà:facile
19

Introduzione

La matematica è una materia che viene insegnata già alle scuole elementari. Le basi vengono fornite in maniera semplificata, partendo dalla trattazione di argomenti piuttosto facili e alla portata di alunni del primo anno. Uno dei temi maggiormente affrontati è sicuramente quello relativo agli insiemi numerici. Esso viene approfondito in maniera particolare alle medie e superiori. Gli insiemi numerici vengono generalmente suddivisi in 5 gruppi, ciascuno dei quali viene contrassegnato dalle lettere N, Z, Q, R e C. Per ognuno di essi esistono tantissimi esempi ed è molto importante esercitarsi per memorizzarne al meglio le proprietà e le caratteristiche. Dunque in matematica non conta soltanto l'aspetto prettamente nozionistico, bensì la messa in pratica delle regole apprese. Andiamo dunque a fare un ripasso sugli insiemi numerici consultando la seguente guida.

29

Occorrente

  • Libro di matematica
  • Eserciziario
39

L'insieme N

L'insieme N, vale a dire quello dei numeri naturali, è il primo da prendere in considerazione. Esso include in sé tutti i numeri interi positivi che partono dallo zero e proseguono all'infinito. Quando ci riferiamo ai numeri naturali, stiamo indicando tutti gli interi positivi che si ricavano tramite addizione, sotrazione, moltiplicazione o divisione. Una somma è il risultato della formula a + b = c e si identifica in c, che viene generato dall'unione tra i due addendi a e b. In riferimento alla sottrazione, avremo la formula generale a ? b = c, laddove il numero c altro non è che il prodotto tra i due fattori a e b. Quando arriviamo alla sottrazione e alla divisione, si presenano dei piccoli problemi. In questi due casi esiste una regola specifica, secondo la quale il numero a deve essere necessariamente maggiore rispetto a b. Qualora tale condizione non venisse soddisfatta, il risultato di sottrazione e divisioe sarebbe un numero non appartenente all'insieme N. Pertanto, in casi del tipo 5 : 0 = x oppure 5 - 7 = x avremo come risultato un numero che non è intero né positivo.

49

L'insieme Z

Il secondo insieme numerico che riconosciamo in matematica è quello dei numeri interi positivi e negativi. Avremo pertanto l'insieme Z, nel quale viene incluso N come sottoinsieme. Qui avremo numeri interi che coprono un'area più vasta, da meno infinito a più infinito. Per quanto riguarda le operazioni matematiche da eseguire, non incontreremo particolari difficoltà nell'addizione. Per quanto riguarda la moltiplicazione, seguiremo una regola ben precisa. Il prodotto di due numeri positivi ci restituirà un numero positivo. Se i fattori sono uno positivo e uno negativo, il prodotto sarà un numero negativo. Due numeri negativi moltiplicati tra loro daranno invece come risultato un numero positivo. Facciamo qualche esempio per capire meglio. Prendiamo come riferimento la moltiplicazione 4 ? 5 = 20. Nei vari casi avremo 4 ? -5 = -20 e -4 ? -5= 20. La sottrazione nell'insieme Z equivale a sommare l'opposto. Avremo quindi formule del tipo 5 - (-3) = 8 poiché è come se fosse 5 + 3 (3 con segno positivo è l'opposto di -3). Infine analizziamo la divisione. Qui non avremo difficoltà nel caso di numeri positivi. Se invece sono presenti i negativi, seguiremo due regole. La prima segue la formula a : (-b) = - (a : b), mentre la seconda sarà del tipo (-a) : (-b) = a : b.

Continua la lettura
59

L'insieme Q

Passiamo ora all'insieme Q, ossia quello a cui appartengono i numeri razionali. Questi ultimi si ottengono dal rapporto tra due numeri interi. Il secondo numero presente in tale rapporto dovrà necessariamente essere diverso da zero. I numeri razionali vengono riportati in frazioni del tipo a/b. In questo caso a prende il nome di numeratore, mentre b verrà identificato come denominatore. Tra due frazioni, quella più grande è quella con il denominatore più piccolo. Ma come è possibile ciò? Ebbene, cerchiamo di capirlo con un esempio. Supponiamo di avere due torte identiche tra loro. La prima viene divisa in 5 parti, mentre la seconda in 10. Prendiamo due parti da entrambe le torte, quindi avremo rispetivamente i 2/5 di una torta e i 2/10 di un'altra. La quantità prelevata dalla seconda torta sarà ovviamente inferiore, poiché le fettine saranno più piccole. Passiamo ora alle classiche operazioni matematiche. Per l'addizione si segue la formula (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/bd. Nel caso della moltiplicazione avremo invece (a/b) ? (c/d) = ac/bd. Spostandoci verso la sottrazione, troveremo la formula (a/b) - (c/d) = (ad) - (bc)/bd. Riguardo alla divisione, ecco una regola da memorizzare. Per dividere due frazioni, dobbiamo sempre moltiplicare la prima per l'inverso della seconda. Ad esempio 15/4 : 6/8 diventerà 15/4 x 8/6 e quindi si segue la regola della moltiplicazione.

69

L'insieme R

Eccoci giunti all'insieme numerico R, il quale contiene i numeri reali. Questi ultimi possono essere irrazionali oppure razionali e avranno sia il segno negativo che quello positivo. Un numero reale può inoltre essere intero o anche decimale. 24, 2/5, -7/6 sono dunque tutti numeri reali. Questo gruppo, in sintesi, incorpora numeri interi, razionali, irrazionali e trascendenti. A quest'ultima categoria appartiene il famoso pi grco, ossia la lunga sequenza numerica che inizia con le cifre 3,14. I numeri dell'insieme R ci consentono di effettuare un calcolo infinitesimale, ma si possono anche approssimare. Il pi greco, infatti, è un'approssimazione di un numero molto più lungo dalle cifre praticamente infinite. Esistono tanti altri numeri di questo tipo, ma elencarli tutti sarebbe sostanzialmente impossibile. Questo perché coprono uno spazio infinito tra una cifra e l'altra. Se ad esempio pensiamo a quanti numeri intercorrono tra 0 e 1, non possiamo quantificarli, poiché sono infiniti.

79

L'insieme C

Concludiamo il nostro elenco relativo agli insiemi numerici con C, il gruppo a cui appartengono i cosiddetti numeri complessi. Questo insieme ci mette in difficoltà rispetto agli altri appena menzionati, poiché i numeri complessi appaiono formati da una componente reale e una immaginaria. Quest'ultima si riconosce con la lettera i minuscola. Per quanto riguarda le operazioni matematiche di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, esse seguono le normali regole di base valevoli per tutti gli insiemi numerici. Dobbiamo però tenere conto del fatto che i = ?-1.Facciamo un esempio pratico. In una formula come (3 + 5i) + (16 + 2i) = 19 + 7i), i punti non vengono geometricamente rappresentati da una retta. Nonostante ciò, essi si trovano tutti all'interno di un piano. Questo insieme numerico viene generalmente preso in esame in quinto superiore, o al limite all'università. La sua complessità va difatti analizzata una volta acquisite maggiori competenze in ambito matematico.

89

Guarda il video

99

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Esercitarsi costantemente nel calcolo per acquisire maggior confidenza con gli insiemi numerici.
  • Consultare il libro di matematica e osservare attentamente gli esempi forniti.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Naviga con la tastiera

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Segnala il video che ritieni inappropriato
Devi selezionare il video che desideri segnalare
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Elementari e Medie

Appunti sugli insiemi

In matematica uno dei primi argomenti che si affrontano a scuola è sicuramente quello relativo agli insiemi. Si tratta di uno dei concetti più primitivi della materia ed è creato da assiomi e dimostrazioni molto semplici. Il significato di insieme, in...
Elementari e Medie

Come insegnare matematica ai bambini

La matematica insieme all'italiano è una delle materie fondamentali che bisogna studiare bene e, se capiti i concetti base può diventare anche interessante. Ciò che importa è che venga presentata fin dalle scuole elementari in maniera tale da essere assimilata...
Elementari e Medie

5 consigli per imparare velocemente la matematica

La matematica è una delle materie fondamentali che si studiano a scuola. E la ritroviamo in tutte le scuole di ogni ordine e grado, almeno fino alla fine della scuola media superiore. Da sempre, per molti, ha sempre costituito una materia ostica. E addirittura...
Elementari e Medie

10 app per insegnare la matematica a bambini e ragazzi

Ai tempi di oggi anche l'insegnamento deve comunque collegarsi a qualcosa di più moderno e funzionale. È possibile infatti aiutare i bambini a capire una materia difficoltosa come la matematica attraverso l'utilizzo di alcune applicazioni molto utili....
Elementari e Medie

Come far migliorare i propri figli in matematica

Dal primo anno della scuola primaria, i bambini si trovano a dover imparare i fondamenti della matematica. L'apprendimento di questa materia può rivelarsi ostico e impegnativo, influendo sulla motivazione e sul rendimento scolastico dell'alunno. I genitori,...
Elementari e Medie

5 consigli per superare una verifica di matematica

La verifica di matematica rappresenta senza dubbio uno dei momenti più temuti da ogni studente. Questa rappresenta infatti la più importante delle prove, che dunque, per essere superata con successo e con un buon voto, deve essere affrontata dall'alunno...
Elementari e Medie

Come far piacere la matematica: 5 utili consigli

Si sa che la matematica non è la materia più amata dai ragazzi. I motivi possono essere tanti. Innanzitutto il fatto che è ormai diventata una moda odiare questa materia perché considerata da bambini e adulti la materia più difficile esistente al mondo....
Elementari e Medie

Proprietà delle operazioni in N, Q, Z

In aritmetica, definiamo gli insiemi numerici come quegli insiemi nei quali gli elementi contenuti sono i numeri; appartengono all'insieme dei numeri i seguenti insiemi: l'insieme N è quello dei naturali, rappresentato come l'insieme {0,1,2,3,4,,5...}....