Matematica: gli insiemi numerici

La matematica è una materia che viene insegnata già alle scuole elementari. Le basi vengono fornite in maniera semplificata, partendo dalla trattazione di argomenti piuttosto facili e alla portata di alunni del primo anno. Uno dei temi maggiormente affrontati è sicuramente quello relativo agli insiemi numerici. Esso viene approfondito in maniera particolare alle medie e superiori. Gli insiemi numerici vengono generalmente suddivisi in 5 gruppi, ciascuno dei quali viene contrassegnato dalle lettere N, Z, Q, R e C. Per ognuno di essi esistono tantissimi esempi ed è molto importante esercitarsi per memorizzarne al meglio le proprietà e le caratteristiche. Dunque in matematica non conta soltanto l'aspetto prettamente nozionistico, bensì la messa in pratica delle regole apprese. Andiamo dunque a fare un ripasso sugli insiemi numerici consultando la seguente guida.

• Libro di matematica
• Eserciziario

L'insieme N, vale a dire quello dei numeri naturali, è il primo da prendere in considerazione. Esso include in sé tutti i numeri interi positivi che partono dallo zero e proseguono all'infinito. Quando ci riferiamo ai numeri naturali, stiamo indicando tutti gli interi positivi che si ricavano tramite addizione, sotrazione, moltiplicazione o divisione. Una somma è il risultato della formula a + b = c e si identifica in c, che viene generato dall'unione tra i due addendi a e b. In riferimento alla sottrazione, avremo la formula generale a ? b = c, laddove il numero c altro non è che il prodotto tra i due fattori a e b. Quando arriviamo alla sottrazione e alla divisione, si presenano dei piccoli problemi. In questi due casi esiste una regola specifica, secondo la quale il numero a deve essere necessariamente maggiore rispetto a b. Qualora tale condizione non venisse soddisfatta, il risultato di sottrazione e divisioe sarebbe un numero non appartenente all'insieme N. Pertanto, in casi del tipo 5 : 0 = x oppure 5 - 7 = x avremo come risultato un numero che non è intero né positivo.

Il secondo insieme numerico che riconosciamo in matematica è quello dei numeri interi positivi e negativi. Avremo pertanto l'insieme Z, nel quale viene incluso N come sottoinsieme. Qui avremo numeri interi che coprono un'area più vasta, da meno infinito a più infinito. Per quanto riguarda le operazioni matematiche da eseguire, non incontreremo particolari difficoltà nell'addizione. Per quanto riguarda la moltiplicazione, seguiremo una regola ben precisa. Il prodotto di due numeri positivi ci restituirà un numero positivo. Se i fattori sono uno positivo e uno negativo, il prodotto sarà un numero negativo. Due numeri negativi moltiplicati tra loro daranno invece come risultato un numero positivo. Facciamo qualche esempio per capire meglio. Prendiamo come riferimento la moltiplicazione 4 ? 5 = 20. Nei vari casi avremo 4 ? -5 = -20 e -4 ? -5= 20. La sottrazione nell'insieme Z equivale a sommare l'opposto. Avremo quindi formule del tipo 5 - (-3) = 8 poiché è come se fosse 5 + 3 (3 con segno positivo è l'opposto di -3). Infine analizziamo la divisione. Qui non avremo difficoltà nel caso di numeri positivi. Se invece sono presenti i negativi, seguiremo due regole. La prima segue la formula a : (-b) = - (a : b), mentre la seconda sarà del tipo (-a) : (-b) = a : b.

Passiamo ora all'insieme Q, ossia quello a cui appartengono i numeri razionali. Questi ultimi si ottengono dal rapporto tra due numeri interi. Il secondo numero presente in tale rapporto dovrà necessariamente essere diverso da zero. I numeri razionali vengono riportati in frazioni del tipo a/b. In questo caso a prende il nome di numeratore, mentre b verrà identificato come denominatore. Tra due frazioni, quella più grande è quella con il denominatore più piccolo. Ma come è possibile ciò? Ebbene, cerchiamo di capirlo con un esempio. Supponiamo di avere due torte identiche tra loro. La prima viene divisa in 5 parti, mentre la seconda in 10. Prendiamo due parti da entrambe le torte, quindi avremo rispetivamente i 2/5 di una torta e i 2/10 di un'altra. La quantità prelevata dalla seconda torta sarà ovviamente inferiore, poiché le fettine saranno più piccole. Passiamo ora alle classiche operazioni matematiche. Per l'addizione si segue la formula (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/bd. Nel caso della moltiplicazione avremo invece (a/b) ? (c/d) = ac/bd. Spostandoci verso la sottrazione, troveremo la formula (a/b) - (c/d) = (ad) - (bc)/bd. Riguardo alla divisione, ecco una regola da memorizzare. Per dividere due frazioni, dobbiamo sempre moltiplicare la prima per l'inverso della seconda. Ad esempio 15/4 : 6/8 diventerà 15/4 x 8/6 e quindi si segue la regola della moltiplicazione.

Eccoci giunti all'insieme numerico R, il quale contiene i numeri reali. Questi ultimi possono essere irrazionali oppure razionali e avranno sia il segno negativo che quello positivo. Un numero reale può inoltre essere intero o anche decimale. 24, 2/5, -7/6 sono dunque tutti numeri reali. Questo gruppo, in sintesi, incorpora numeri interi, razionali, irrazionali e trascendenti. A quest'ultima categoria appartiene il famoso pi grco, ossia la lunga sequenza numerica che inizia con le cifre 3,14. I numeri dell'insieme R ci consentono di effettuare un calcolo infinitesimale, ma si possono anche approssimare. Il pi greco, infatti, è un'approssimazione di un numero molto più lungo dalle cifre praticamente infinite. Esistono tanti altri numeri di questo tipo, ma elencarli tutti sarebbe sostanzialmente impossibile. Questo perché coprono uno spazio infinito tra una cifra e l'altra. Se ad esempio pensiamo a quanti numeri intercorrono tra 0 e 1, non possiamo quantificarli, poiché sono infiniti.

Concludiamo il nostro elenco relativo agli insiemi numerici con C, il gruppo a cui appartengono i cosiddetti numeri complessi. Questo insieme ci mette in difficoltà rispetto agli altri appena menzionati, poiché i numeri complessi appaiono formati da una componente reale e una immaginaria. Quest'ultima si riconosce con la lettera i minuscola. Per quanto riguarda le operazioni matematiche di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, esse seguono le normali regole di base valevoli per tutti gli insiemi numerici. Dobbiamo però tenere conto del fatto che i = ?-1.Facciamo un esempio pratico. In una formula come (3 + 5i) + (16 + 2i) = 19 + 7i), i punti non vengono geometricamente rappresentati da una retta. Nonostante ciò, essi si trovano tutti all'interno di un piano. Questo insieme numerico viene generalmente preso in esame in quinto superiore, o al limite all'università. La sua complessità va difatti analizzata una volta acquisite maggiori competenze in ambito matematico.

• Esercitarsi costantemente nel calcolo per acquisire maggior confidenza con gli insiemi numerici.
• Consultare il libro di matematica e osservare attentamente gli esempi forniti.

• Gli insiemi numerici
• Insiemi numerici
• Lezione 1 - Gli insiemi numerici
• Proprietà e operazioni degli insiemi numerici