Matematica: appunti sugli integrali definiti

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

C'è chi è del parere che la matematica è una materia scientifica che supporta le altre scienze e offre strumenti per comprenderle al meglio. Sostenitore di questa tesi, Galileo Galilei afferma che il libro della natura è scritto nel linguaggio della matematica. A dire il vero la matematica non è solo strumento di calcolo: ha una teoria e una storia a sé stanti. In questo caso sarà presentato un argomento utile al calcolo in altre discipline (come la fisica e la biologia) ma che dispone di teoremi e concetti indipendenti dalla risoluzione di esercizi: il calcolo integrale. Nello specifico daremo alcuni appunti sugli integrali definiti.

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Partiamo subito con la definizione. Data una funzione reale continua, che per semplicità supponiamo positiva, e un intervallo chiuso [a, b] compreso nel suo dominio, si chiama integrale definito il numero che indica l'area della figura sottesa al grafico della funzione e limitata dalle rette verticali x=a, x=b e dall'asse delle ascisse. Nell'immagine allegata è colorata di giallo.

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Tale figura si chiama trapezoide e la sua area è indicata dalla lettera S. Ma come si è pervenuti a tale definizione? Dividiamo l'intervallo [a, b] in n segmentini di passo h=(b-a)/n e tracciamo per ognuno di questi punti intermedi le rette parallele all'asse delle ordinate passanti per essi, che intersecheranno la curva y=f (x).

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Ai due estremi di ogni sotto-intervallo di ampiezza h, corrisponderanno due segmenti, di lunghezza rispettivamente M=max (f (x)) e m=min (f (x)), che costituiranno le altezza di due rettangoli costruiti sulla stessa base. La somma delle aree dei rettangoli con altezza minore si chiama somma inferiore. Invece la somma delle aree dei rettangoli di altezza maggiore si chiama somma superiore. Suddividendo [a, b] in parti sempre più piccole, tali somme approssimeranno meglio S poiché saranno minori gli scarti le aree dei rettangoli e l'area del trapezoide. Per cui passando al limite per h che tende a 0 o equivalentemente per n che tende a infinito somme inferiori e superiori convergeranno a S.

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Passiamo adesso al calcolo effettivo. Lo studio degli integrali definiti segue quello degli integrali indefiniti. Infatti, note le formule e i metodi per trovare le primitive di una funzione, basterà applicare la seconda parte del teorema fondamentale del calcolo integrale per ottenere il risultato. Detta F la funzione primitiva di f (x), l'integrale definito esteso da a a b è uguale alla differenza di F calcolata negli estremi dell'intervallo.

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Un classico esempio in cui la fisica si serve dell' integrale definito è il calcolo del lavoro che compie un gas per passare da uno stato iniziale A ad uno stato B, attraverso una trasformazione isoterma reversibile. Esso infatti corrisponde proprio all'area sottesa al grafico della pressione nel piano di Clapeyron.

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