Limiti e forme indeterminate

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica è sempre stata la materia più difficile per gli studenti di qualsiasi grado scolastico; questo perché i concetti sono strettamente legati fra loro. In questa guida andremo ad approfondire un argomento in particolare, ovvero i limiti e le forme indeterminate, che spesso a loro volta vengono considerate uno degli argomenti più ostici della matematica. Tuttavia, con una certa dose di impegno e continuità è possibile ottenere i risultati sperati.

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Concetto di limite

Innanzitutto dobbiamo introdurre il concetto di limite, che in molti casi risolve il problema di come una funzione si comporta nei pressi di un punto x. Se ci muoviamo nel dominio della funzione f e ci avviciniamo ad un valore x, i valori assunti da f si avvicinano a qualcosa di preciso; se questo "qualcosa" è il valore di f in x, siamo in questo caso in una funzione continua, ma se così non fosse ci ritroveremo in una situazione nuova e potremmo affermare che questo "qualcosa" è il limite di f quando x tende a x*.

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Il Teorema di de l'Hôpital

Molti dei limiti che si incontrano sotto una forma indeterminata sono in una delle forme 0/0 oppure infinito / infinito, o si possono ricondurre a una di esse; il teorema fornisce un metodo che in molti casi risulta utile per la determinazione del valore del limite. Questo teorema prende il nome di Teorema di de l'Hôpital, dal suo inventore Guillaume de l'lHôpital famoso matematico francese, e tratta le forme indeterminate del tipo 0/0 e del tipo infinito / infinito. Il Teorema di de l'Hôpital resta valido anche per i limiti per x che tende a b, l'estremo destro dell'intervallo, o per x che tende a x* e se a è uguale a meno infinito oppure se b è uguale a più infinito. Per meglio comprendere questo teorema, va tenuto presente che prende in considerazione due funzioni definite e derivabili, siano f (x) e g (x), in tutti i punti di un intervallo [ a; b], ad eccezione di un eventuale punto Xo € [a; b]. Pertanto, la sua regola di base sarà così riassumibile:

lim f (x)/ g (x) = lim f' (x) / g'(x)
x->xo x->xo.

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Potenziali errori da evitare

Attenzione: che pur essendo il teorema di de l'Hôpital uno strumento che in molti casi permette il calcolo veloce dei limiti di funzione, esso va applicato oculatamente, e non, come purtroppo si vede spesso negli elaborati d'esame, meccanicamente, senza neppure considerare che il limite in questione si sarebbe potuto risolvere immediatamente in altro modo. Ciò spesso conduce, a causa dei calcoli di derivate necessari se si applica il Teorema di de l'Hôpital, a errori che nella maggior parte dei casi potevano essere evitati.

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